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| Aufgabe | | Sei f: X->Y eine stetige Abbildung. Wenn X kompakt ist, so ist f gleichmäßig stetig. |
Bew. im Skriptum:
Sei [mm] \epsilon>0 [/mm] beliebig.
Da f stetig ist, gibt es für jedes x [mm] \in [/mm] X ein [mm] \delta(x) [/mm] sodass e(f(x), f(y)) < [mm] \epsilon [/mm] wenn d(x,y) < 2 [mm] \delta(x).
[/mm]
Die Bälle [mm] B_{\delta(x)} [/mm] (x) übberdecken X, also existieren endlich viele [mm] x_j [/mm] sodass schon [mm] B_{\delta(x_j)}(x_j) [/mm] ganz X überdecken.
> Ist die Aussage dass es endlich viele [mm] x_j [/mm] gibt aus der Kompaktheit gefolgert?
Wenn wir nun [mm] \delta [/mm] = [mm] min_j \delta(x_j) [/mm] >0 wählen, so gilt für beliebige x,y [mm] \in [/mm] X , dass aus x [mm] \in B_{\delta(x_j)} (x_j) [/mm] auch y [mm] \in B_{2\delta(x_j)} [/mm] , da
[mm] d(y,x_j [/mm] ) <= d(y,x) + d(x, [mm] x_j) [/mm] <= [mm] \delta [/mm] + [mm] \delta (x_j) [/mm] <= 2 [mm] \delta(x_j)
[/mm]
> Warum gilt d(y,x) + d(x, [mm] x_j) [/mm] <= [mm] \delta [/mm] + [mm] \delta (x_j)<= [/mm] 2 [mm] \delta( x_j [/mm] )
??
Damit ist e(f(x),f(y)) <= e (f(x), [mm] f(x_j)) [/mm] + [mm] e(f(x_j),f(y))<= [/mm] 2 [mm] \epsilon
[/mm]
> Da komme ich leider auch nich mehr mit..
> Warum ist dabei die zubeweisende aussage gezeigt? Also wieso hängt das ganze nicht mehr vom Punkt [mm] x_i [/mm] ab?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:44 Do 25.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei f: X->Y eine stetige Abbildung. Wenn X kompakt ist, so
> ist f gleichmäßig stetig.
> Bew. im Skriptum:
> Sei [mm]\epsilon>0[/mm] beliebig.
> Da f stetig ist, gibt es für jedes x [mm]\in[/mm] X ein [mm]\delta(x)[/mm]
> sodass e(f(x), f(y)) < [mm]\epsilon[/mm] wenn d(x,y) < 2 [mm]\delta(x).[/mm]
> Die Bälle [mm]B_{\delta(x)}[/mm] (x) übberdecken X, also
> existieren endlich viele [mm]x_j[/mm] sodass schon
> [mm]B_{\delta(x_j)}(x_j)[/mm] ganz X überdecken.
> > Ist die Aussage dass es endlich viele [mm]x_j[/mm] gibt aus der
> Kompaktheit gefolgert?
Ja
> Wenn wir nun [mm]\delta[/mm] = [mm]min_j \delta(x_j)[/mm] >0 wählen, so
> gilt für beliebige x,y [mm]\in[/mm] X
Hier hast Du vergesen , dass x,y so gewählt sind, dass d(x,y)< [mm] \delta [/mm] ist.
> , dass aus x [mm]\in B_{\delta(x_j)} (x_j)[/mm]
.... für ein j ...
> auch y [mm]\in B_{2\delta(x_j)}[/mm] , da
> [mm]d(y,x_j[/mm] ) <= d(y,x) + d(x, [mm]x_j)[/mm] <= [mm]\delta[/mm] + [mm]\delta (x_j)[/mm]
> <= 2 [mm]\delta(x_j)[/mm]
>
> > Warum gilt d(y,x) + d(x, [mm]x_j)[/mm] <= [mm]\delta[/mm] + [mm]\delta (x_j)<=[/mm] 2
> [mm]\delta( x_j[/mm] )
> ??
Wegen d(x,y)< [mm] \delta \le \delta(x_j)
[/mm]
>
> Damit ist e(f(x),f(y)) <= e (f(x), [mm]f(x_j))[/mm] +
> [mm]e(f(x_j),f(y))<=[/mm] 2 [mm]\epsilon[/mm]
> > Da komme ich leider auch nich mehr mit..
Dreiecksungleichung !
> > Warum ist dabei die zubeweisende aussage gezeigt? Also
> wieso hängt das ganze nicht mehr vom Punkt [mm]x_i[/mm] ab?
Gezeigt wurde: zu [mm] \varepsilon>0 [/mm] gibt es ein [mm] \delta> [/mm] 0 mit:
e(f(x),f(y))< [mm] \varepsilon [/mm] für alle x,y [mm] \in [/mm] X mit d(x,y) < [mm] \delta.
[/mm]
FRED
>
> LG
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hallo,
danke für die Antwort. Ich habe noch Fragen dazu:
> Wo geht nun genau die Kompaktheit ein bei dem Beweis, wieso funktioniert das nicht ohne Kompaktheit?
> e [mm] (f(x),f(x_j)) [/mm] + [mm] e(f(x_j),f(y))<=2\epsilon [/mm]
Hier benutze ich doch dass: x,y [mm] \in B_{2 \delta (x_j)} (x_j) [/mm] oder?
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Sa 27.10.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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