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| Aufgabe | Warum ist ein metrischer Raum total beschränkt?
Total beschränkt:
X ist total beschränkt wenn für jedes r>0 eine endliche Menge [mm] \{x_1 ,.,, x_n \} \subset [/mm] X existiert mit X = [mm] \bigcup_{j=1}^{n} B_r (x_j) [/mm] |
Die Frage tauchte beim lernen auf...
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:17 Mi 20.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Warum ist ein metrischer Raum total beschränkt?
>
> Total beschränkt:
> X ist total beschränkt wenn für jedes r>0 eine endliche
> Menge [mm]\{x_1 ,.,, x_n \} \subset[/mm] X existiert mit X =
> [mm]\bigcup_{j=1}^{n} B_r (x_j)[/mm]
> Die Frage tauchte beim lernen
I.a. ist ein metr. Raum nicht totalbeschränkt !
Bsp.: [mm] \IR [/mm] mit d(x,y)=|x-y|
FRED
> auf...
> LG
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Du meinst weil [mm] \IR [/mm] überabzählbar ist oder wie?
LG
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Hiho,
> Du meinst weil [mm]\IR[/mm] überabzählbar ist oder wie?
nö, auch [mm] \IQ^n [/mm] mit der selben Metrik ist nicht total beschränkt und das ist bekanntlich abzählbar.
MFG,
Gono.
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Hallo
Jedoch verstehe ich dass das Gegenbeispiel nicht. Kannst du mir das vlt. erklären??
Danke.
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Hallo,
angenommen [mm] $\IR$ [/mm] wäre total beschränkt, dann gäbe es $r > 0$ und Punkte [mm] $x_1,...,x_n \in \IR$ [/mm] sodass [mm] $\IR [/mm] = [mm] \bigcup_{i=1}^{n}B_r(x_i)$.
[/mm]
Wir wissen wie [mm] $B_r(x_i)$ [/mm] in [mm] $\IR$ [/mm] aussieht (mit der normalen Metrik des Betrags): [mm] $B_r(x_i) [/mm] = [mm] (x_i [/mm] - r, [mm] x_i [/mm] + r)$.
Damit wäre also
[mm] $\IR [/mm] = [mm] \bigcup_{i=1}^{n}B_r(x_i) [/mm] = [mm] (x_1 -r,x_1 [/mm] + r) [mm] \cup [/mm] ... [mm] \cup (x_n [/mm] - r, [mm] x_n [/mm] + r)$.
Das ist nicht möglich, weil [mm] $\IR$ [/mm] unbeschränkt ist und sich nicht als Vereinigung von endlichen vielen "endlich langen" Intervallen darstellen lässt.
Viele Grüße,
Stefan
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