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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:30 Mo 12.11.2007 | | Autor: | Dave11 |
| Aufgabe | a)
Gegeben sei Die Menge C([0,1]),aller auf dem abgeschlossenen Interval[0,1] stetigen Funktionen,mit der Metrik [mm] d(f,g)=sup_{x\in [0,1]}|f(x)-g(x)| [/mm] .Zeigen Sie,dass C([0,1]) bezüglich dieser Metrik vollständig ist.
b)
Gegeben sei Die Menge C([0,1]),aller auf dem abgeschlossenen Interval[0,1] stetigen Funktionen,mit der Metrik [mm] d(f,g)=\integral_{0}^{1}{|f(x)-g(x)| dx}.Zeigen [/mm] Sie, dass C([0,1])bezüglich dieser Metrik nicht vollständig ist(Hinweis:Betrachten Sie die Folge [mm] (f_n) [/mm] mit [mm] f_n(x)=x^n). [/mm] |
Guten Abend zusammen,
Habe noch meine Schwierigkeiten mit den Metriken.
Also ein metrischer Raum heisst ja vollständig wenn jede Cauchyfolge aus M auch gegen einen Grenzwert aus M konvergiert.
Definition:
[mm] (a_n) [/mm] ist Cauchyfolge [mm] \gdw \forall \varepsilon>0 \exists N\in \IN [/mm] sd. [mm] |a_n-a_m|< \varepsilon \forall m,n\ge [/mm] N
Nur weiss ich nicht wie ich die bei der a) anwenden soll.Meine Metrik soll ja den Abstand meiner beiden Funktionen berechnen nur wie zeige ich jetzt die Vollständigkeit.
Bei b) muss ich ja irgendwie ein Gegenbeispiel finden,nur kann ich mir unter dieser Metrik noch nicht wirklich was vorstellen.
Würde mich freuen wenn ihr mir da helfen könntet
Danke
MFG DAVE
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:38 Di 13.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Dave!
> a)
> Gegeben sei Die Menge C([0,1]),aller auf dem
> abgeschlossenen Interval[0,1] stetigen Funktionen,mit der
> Metrik [mm]d(f,g)=sup_{x\in [0,1]}|f(x)-g(x)|[/mm] .Zeigen Sie,dass
> C([0,1]) bezüglich dieser Metrik vollständig ist.
>
> b)
> Gegeben sei Die Menge C([0,1]),aller auf dem
> abgeschlossenen Interval[0,1] stetigen Funktionen,mit der
> Metrik [mm]d(f,g)=\integral_{0}^{1}{|f(x)-g(x)| dx}.Zeigen[/mm] Sie,
> dass C([0,1])bezüglich dieser Metrik nicht vollständig
> ist(Hinweis:Betrachten Sie die Folge [mm](f_n)[/mm] mit [mm]f_n(x)=x^n).[/mm]
> Guten Abend zusammen,
>
> Habe noch meine Schwierigkeiten mit den Metriken.
> Also ein metrischer Raum heisst ja vollständig wenn jede
> Cauchyfolge aus M auch gegen einen Grenzwert aus M
> konvergiert.
>
> Definition:
> [mm](a_n)[/mm] ist Cauchyfolge [mm]\gdw \forall \varepsilon>0 \exists N\in \IN[/mm]
> sd. [mm]|a_n-a_m|< \varepsilon \forall m,n\ge[/mm] N
>
> Nur weiss ich nicht wie ich die bei der a) anwenden
> soll.Meine Metrik soll ja den Abstand meiner beiden
> Funktionen berechnen nur wie zeige ich jetzt die
> Vollständigkeit.
Vollständigkeit heisst doch, dass der Grenzwert einer Cauchyfolge der Grundmenge angehört, in diesem Fall der Menge C([0,1]) aller auf dem abgeschlossenen Interval[0,1] stetigen Funktionen. Du musst also zeigen, dass der Grenzwert einer Cauchyfolge (bezüglich der gegebenen Metrik) stetig ist.
> Bei b) muss ich ja irgendwie ein Gegenbeispiel finden,nur
> kann ich mir unter dieser Metrik noch nicht wirklich was
> vorstellen.
Da Gegenbeispiel ist angegeben: die Folge [mm]f_n=x^n[/mm]. Weise zunächst nach, dass es sich um eine Cauchyfolge bezüglich der gegebenen Matrik handelt. Dann rechnest du den Grenzwert der Folge aus. Wenn er nicht stetig ist, hast du ein Gegenbeispiel.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 Di 13.11.2007 | | Autor: | Dave11 |
> Vollständigkeit heisst doch, dass der Grenzwert einer
> Cauchyfolge der Grundmenge angehört, in diesem Fall der
> Menge C([0,1]) aller auf dem abgeschlossenen Interval[0,1]
> stetigen Funktionen. Du musst also zeigen, dass der
> Grenzwert einer Cauchyfolge (bezüglich der gegebenen
> Metrik) stetig ist.
Und wie mach ich das ?Weiss überhaubt keinen Ansatz!
Wäre nett wenn du mir vielleicht einen Ansatz geben könntest.
> Da Gegenbeispiel ist angegeben: die Folge [mm]f_n=x^n[/mm]. Weise
> zunächst nach, dass es sich um eine Cauchyfolge bezüglich
> der gegebenen Matrik handelt. Dann rechnest du den
> Grenzwert der Folge aus. Wenn er nicht stetig ist, hast du
> ein Gegenbeispiel.
Hierzu hatten wir im Tutorium nur als Beispiel die offene Kugel.
Das gegen beispiel war eine Cauchyfolge zu wählen die gegen einem
punkt auf dem Radius konvergiert.Da der nicht in der Menge war,so war die Menge nicht vollständig.Nur weiss ich überhaubt nicht was ich hier tun soll....
MFG DAVE
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:46 Di 13.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> > Vollständigkeit heisst doch, dass der Grenzwert einer
> > Cauchyfolge der Grundmenge angehört, in diesem Fall der
> > Menge C([0,1]) aller auf dem abgeschlossenen Interval[0,1]
> > stetigen Funktionen. Du musst also zeigen, dass der
> > Grenzwert einer Cauchyfolge (bezüglich der gegebenen
> > Metrik) stetig ist.
>
> Und wie mach ich das ?Weiss überhaubt keinen Ansatz!
> Wäre nett wenn du mir vielleicht einen Ansatz geben
> könntest.
Was bedeutet denn, wenn eine Funktionenfolge bezüglich der angegebenen Supremumsnorm konvergiert? Wie nennt man diese Art der Konvergenz?
> > Da Gegenbeispiel ist angegeben: die Folge [mm]f_n=x^n[/mm]. Weise
> > zunächst nach, dass es sich um eine Cauchyfolge bezüglich
> > der gegebenen Matrik handelt. Dann rechnest du den
> > Grenzwert der Folge aus. Wenn er nicht stetig ist, hast du
> > ein Gegenbeispiel.
>
> Hierzu hatten wir im Tutorium nur als Beispiel die offene
> Kugel.
> Das gegen beispiel war eine Cauchyfolge zu wählen die
> gegen einem
> punkt auf dem Radius konvergiert.Da der nicht in der Menge
> war,so war die Menge nicht vollständig.Nur weiss ich
> überhaubt nicht was ich hier tun soll....
Mach doch mal das, was ich dir geschrieben habe: Rechne [mm]d(x^n,x^m)[/mm] aus, und dann den Grenzwert der angegebenen Folge [mm](f_n)[/mm], [mm]f_n(x)=x^n[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:02 Di 13.11.2007 | | Autor: | Dave11 |
> Was bedeutet denn, wenn eine Funktionenfolge bezüglich der
> angegebenen Supremumsnorm konvergiert? Wie nennt man diese
> Art der Konvergenz?
Konvergenz in der Supremumsnorm ist gleichbedeutend mit gleichmäßiger Konvergenz???
>
> Mach doch mal das, was ich dir geschrieben habe: Rechne
> [mm]d(x^n,x^m)[/mm] aus, und dann den Grenzwert der angegebenen
> Folge [mm](f_n)[/mm], [mm]f_n(x)=x^n[/mm].
Ok also [mm]d(x^n,x^m)= \integral_{0}^{1}{|f_n(x)-g_m(x)|dx}=\integral_{0}^{1}{|x^n-x^m|dx}= 0[/mm]???
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(n)=\left\{\begin{matrix}
0, & \mbox{wenn }x<1 \\
1, & \mbox{wenn }x=1
\end{matrix}\right.
[/mm]
Ist das so richtig???Grenzwert also nicht stetig???
Mir fällt das alles noch ein bischen schwer da ich erst im 2 Semester bin.
Danke für die mühe
MFG DAVE
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:29 Di 13.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Dave!
> > Was bedeutet denn, wenn eine Funktionenfolge bezüglich der
> > angegebenen Supremumsnorm konvergiert? Wie nennt man diese
> > Art der Konvergenz?
>
> Konvergenz in der Supremumsnorm ist gleichbedeutend mit
> gleichmäßiger Konvergenz???
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Und eine gleichmäßig konvergente Folge stetiger Funktionen ist ...?
> >
> > Mach doch mal das, was ich dir geschrieben habe: Rechne
> > [mm]d(x^n,x^m)[/mm] aus, und dann den Grenzwert der angegebenen
> > Folge [mm](f_n)[/mm], [mm]f_n(x)=x^n[/mm].
>
> Ok also [mm]d(x^n,x^m)= \integral_{0}^{1}{|f_n(x)-g_m(x)|dx}=\integral_{0}^{1}{|x^n-x^m|dx}= 0[/mm]???
Naja, gleich 0 ist es nicht (außer für n=m). O.B.d.A. kannst du [mm]n
[mm]d(x^n,x^m) = \integral_{0}^{1}{(x^n-x^m)dx = \left. \bruch{x^{n+1}}{n+1} -\bruch{x^{m+1}}{m+1} \right|_0^1 = \bruch{1}{n+1} -\bruch{1}{m+1} [/mm]
Also ist diese Folge eine Cauchyfolge.
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(n)=\left\{\begin{matrix}
0, & \mbox{wenn }x<1 \\
1, & \mbox{wenn }x=1
\end{matrix}\right.[/mm]
>
> Ist das so richtig???Grenzwert also nicht stetig???
Du hast also eine Cauchyfolge stetiger Funktionen, deren Grenzwert nicht stetig ist. Das ist ein Gegenbeispiel zu: Wäre der Raum der stetigen Funktionen bezüglich der angegebenen Metrik vollständig, dann müsste der Grenzwert stetig sein.
Also nicht vollständig.
> Mir fällt das alles noch ein bischen schwer da ich erst im
> 2 Semester bin.
Kann ich gut verstehen. Deswegen versuchen wir ja, dir Tipps zu geben, damit du dir die Lösung selber erarbeiten kannst. Wenn wir Alles vorrechnen, ist die Gefahr ziemlich groß, dass du bei der nächsten Aufgabe wieder genauso steckenbleibst.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:57 Di 13.11.2007 | | Autor: | Dave11 |
> Hallo Dave!
>
> > > Was bedeutet denn, wenn eine Funktionenfolge bezüglich der
> > > angegebenen Supremumsnorm konvergiert? Wie nennt man diese
> > > Art der Konvergenz?
> >
> > Konvergenz in der Supremumsnorm ist gleichbedeutend mit
> > gleichmäßiger Konvergenz???
>
> Und eine gleichmäßig konvergente Folge stetiger
> Funktionen ist ...?
>
Stetig?????Habe auch gerade gelesen das wen [mm] f_n [/mm] gleichmäßig gegen f konvergiert so ist f stetig.Also ist meine Grenzfunktion stetig und somit meine Metrik vollständig???
> Kann ich gut verstehen. Deswegen versuchen wir ja, dir
> Tipps zu geben, damit du dir die Lösung selber erarbeiten
> kannst. Wenn wir Alles vorrechnen, ist die Gefahr ziemlich
> groß, dass du bei der nächsten Aufgabe wieder genauso
> steckenbleibst.
Dafür bin ich euch auch sehr dankbar.
MFG DAVE
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:22 Mi 14.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Dave!
> > > Konvergenz in der Supremumsnorm ist gleichbedeutend mit
> > > gleichmäßiger Konvergenz???
> >
> > Und eine gleichmäßig konvergente Folge stetiger
> > Funktionen ist ...?
> >
>
> Stetig?????Habe auch gerade gelesen das wen [mm]f_n[/mm] gleichmäßig
> gegen f konvergiert so ist f stetig.Also ist meine
> Grenzfunktion stetig und somit meine Metrik vollständig???
Genau! Besser gesagt: der Raum [mm]C([0,1])[/mm] ist bezüglich der Metrik vollständig.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:59 Mi 14.11.2007 | | Autor: | Dave11 |
Danke dir RainerS , du hast mir sehr geholfen.
MFG DAVE
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