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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:05 Fr 05.04.2013 | | Autor: | Labrinth |
| Aufgabe | Auf [mm] $\mathbb{N}\setminus\{0\}$ [/mm] sei eine Metrik [mm]d[/mm] gegeben durch
[mm] d(m,n)=\begin{cases}\dfrac{m+n}{mn}\,,&m\not=n\,,\\0\,,&m=n\,.\end{cases} [/mm] Man beschreibe [mm] $\bar{\mathbb{B}}(n,1+1/n) [/mm] (den abgeschlossenen Ball um $n$ mit Radius $1+1/n$). |
Guten Tag!
Kann mir jemand sagen, ob ich mich wirklich nicht verrechnet habe:
[mm] $m\in [/mm] B$
[mm] $\iff (m+n)/mn=1/m+1/n\le1+1/n$
[/mm]
[mm] $\iff 1/m\le [/mm] 1$
[mm] $\iff m\in\IN^+$
[/mm]
Für $m=n$ ist ja klar.
Stimmt das?
Beste Grüße,
Labrinth
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:35 Fr 05.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo!
> Auf [mm]\mathbb{N}\setminus\{0\}[/mm] sei eine Metrik [mm]d[/mm] gegeben
> durch
>
> [mm]d(m,n)=\begin{cases}\dfrac{m+n}{mn}\,,&m\not=n\,,\\0\,,&m=n\,.\end{cases}[/mm]
> Man beschreibe [mm]$\bar{\mathbb{B}}(n,1+1/n)[/mm] (den
> abgeschlossenen Ball um $n$ mit Radius $1+1/n$).
> Guten Tag!
>
> Kann mir jemand sagen, ob ich mich wirklich nicht
> verrechnet habe:
Für $m [mm] \in \IN \setminus \{n\}$ [/mm] gilt
> [mm]m\in B[/mm]
[mm] $$\iff [/mm] d(m,n) [mm] \le [/mm] 1+1/n$$
> [mm]\iff (m+n)/mn=1/m+1/n\le1+1/n[/mm]
> [mm]\iff 1/m\le 1[/mm]
> [mm]\iff m\in\IN^+[/mm]
>
> Für [mm]m=n[/mm] ist ja klar.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Du meinst, dass [mm] $n\,$ [/mm] eh in dem angegebenen Ball liegt.
> Für m=n ist ja klar.
Stimmt das?
Ja: Fazit ist: Der abgeschlossene Ball ist einfach ganz [mm] $\IN\setminus \{0\}\,.$
[/mm]
P.S. Was wäre denn der entsprechende offene Ball?
P.P.S. Hast Du auch bewiesen, dass [mm] $d\,$ [/mm] eine Metrik auf [mm] $\IN \setminus \{0\}$ [/mm] ist
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:42 Fr 05.04.2013 | | Autor: | Labrinth |
Hallo,
> Hallo!
>
> > Auf [mm]\mathbb{N}\setminus\{0\}[/mm] sei eine Metrik [mm]d[/mm] gegeben
> > durch
> >
> >
> [mm]d(m,n)=\begin{cases}\dfrac{m+n}{mn}\,,&m\not=n\,,\\0\,,&m=n\,.\end{cases}[/mm]
> > Man beschreibe [mm]$\bar{\mathbb{B}}(n,1+1/n)[/mm] (den
> > abgeschlossenen Ball um [mm]n[/mm] mit Radius [mm]1+1/n[/mm]).
> > Guten Tag!
> >
> > Kann mir jemand sagen, ob ich mich wirklich nicht
> > verrechnet habe:
>
> Für [mm]m \in \IN \setminus \{n\}[/mm] gilt
>
> > [mm]m\in B[/mm]
>
> [mm]\iff d(m,n) \le 1+1/n[/mm]
>
> > [mm]\iff (m+n)/mn=1/m+1/n\le1+1/n[/mm]
> > [mm]\iff 1/m\le 1[/mm]
> > [mm]\iff m\in\IN^+[/mm]
>
> >
> > Für [mm]m=n[/mm] ist ja klar.
>
>
>
> Du meinst, dass [mm]n\,[/mm] eh in dem angegebenen Ball liegt.
>
> > Für m=n ist ja klar.
>
> Stimmt das?
Ja, das meinte ich.
> Ja: Fazit ist: Der abgeschlossene Ball ist einfach ganz
> [mm]\IN\setminus \{0\}\,.[/mm]
>
> P.S. Was wäre denn der entsprechende offene Ball?
[mm] \IN\setminus\{0,1\}, [/mm] oder?
> P.P.S. Hast Du auch bewiesen, dass [mm]d\,[/mm] eine Metrik auf [mm]\IN \setminus \{0\}[/mm]
> ist
Ja, das habe ich schon.
> Gruß,
> Marcel
Danke,
Labrinth
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:15 Fr 05.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Hallo,
> > Hallo!
> >
> > > Auf [mm]\mathbb{N}\setminus\{0\}[/mm] sei eine Metrik [mm]d[/mm] gegeben
> > > durch
> > >
> > >
> >
> [mm]d(m,n)=\begin{cases}\dfrac{m+n}{mn}\,,&m\not=n\,,\\0\,,&m=n\,.\end{cases}[/mm]
> > > Man beschreibe [mm]$\bar{\mathbb{B}}(n,1+1/n)[/mm] (den
> > > abgeschlossenen Ball um [mm]n[/mm] mit Radius [mm]1+1/n[/mm]).
> > > Guten Tag!
> > >
> > > Kann mir jemand sagen, ob ich mich wirklich nicht
> > > verrechnet habe:
> >
> > Für [mm]m \in \IN \setminus \{n\}[/mm] gilt
> >
> > > [mm]m\in B[/mm]
> >
> > [mm]\iff d(m,n) \le 1+1/n[/mm]
> >
> > > [mm]\iff (m+n)/mn=1/m+1/n\le1+1/n[/mm]
> > > [mm]\iff 1/m\le 1[/mm]
> >
> > [mm]\iff m\in\IN^+[/mm]
> >
> > >
> > > Für [mm]m=n[/mm] ist ja klar.
> >
> >
> >
> > Du meinst, dass [mm]n\,[/mm] eh in dem angegebenen Ball liegt.
> >
> > > Für m=n ist ja klar.
> >
> > Stimmt das?
> Ja, das meinte ich.
> > Ja: Fazit ist: Der abgeschlossene Ball ist einfach ganz
> > [mm]\IN\setminus \{0\}\,.[/mm]
> >
> > P.S. Was wäre denn der entsprechende offene Ball?
> [mm]\IN\setminus\{0,1\},[/mm] oder?
Denn es würde am Ende $m > [mm] 1\,$ [/mm] bei der Rechnung rauskommen.
(Übrigens benutzt ihr anscheinend $0 [mm] \in \IN$ [/mm] - bei mir ist es, wenn ich nichts
anderes sage, eigentlich so, dass ich $0 [mm] \notin \IN$ [/mm] habe.)
Edit: Wobei es eine Ausnahme gibt: Für [mm] $n=1\,$ [/mm] kommt doch wieder
[mm] $\IN \setminus \{0\}$ [/mm] raus!
> > P.P.S. Hast Du auch bewiesen, dass [mm]d\,[/mm] eine Metrik auf
> [mm]\IN \setminus \{0\}[/mm]
> > ist
> Ja, das habe ich schon.
Sehr gut!
> Danke,
> Labrinth
Gerne!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:05 Fr 05.04.2013 | | Autor: | Labrinth |
Hallo,
> > >
> > > > Auf [mm]\mathbb{N}\setminus\{0\}[/mm] sei eine Metrik [mm]d[/mm] gegeben
> > > > durch
> > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm]d(m,n)=\begin{cases}\dfrac{m+n}{mn}\,,&m\not=n\,,\\0\,,&m=n\,.\end{cases}[/mm]
> > > > Man beschreibe [mm]$\bar{\mathbb{B}}(n,1+1/n)[/mm] (den
> > > > abgeschlossenen Ball um [mm]n[/mm] mit Radius [mm]1+1/n[/mm]).
> > > > Guten Tag!
> > > >
> > > > Kann mir jemand sagen, ob ich mich wirklich nicht
> > > > verrechnet habe:
> > >
> > > Für [mm]m \in \IN \setminus \{n\}[/mm] gilt
> > >
> > > > [mm]m\in B[/mm]
> > >
> > > [mm]\iff d(m,n) \le 1+1/n[/mm]
> > >
> > > > [mm]\iff (m+n)/mn=1/m+1/n\le1+1/n[/mm]
> > > > [mm]\iff 1/m\le 1[/mm]
>
> > >
> > > [mm]\iff m\in\IN^+[/mm]
> > >
> > > >
> > > > Für [mm]m=n[/mm] ist ja klar.
> > >
> > >
> > >
> > > Du meinst, dass [mm]n\,[/mm] eh in dem angegebenen Ball liegt.
> > >
> > > > Für m=n ist ja klar.
> > >
> > > Stimmt das?
> > Ja, das meinte ich.
>
>
>
> > > Ja: Fazit ist: Der abgeschlossene Ball ist einfach ganz
> > > [mm]\IN\setminus \{0\}\,.[/mm]
> > >
> > > P.S. Was wäre denn der entsprechende offene Ball?
> > [mm]\IN\setminus\{0,1\},[/mm] oder?
>
> Denn es würde am Ende [mm]m > 1\,[/mm] bei der Rechnung
> rauskommen.
> (Übrigens benutzt ihr anscheinend [mm]0 \in \IN[/mm] - bei mir ist
> es, wenn ich nichts
> anderes sage, eigentlich so, dass ich [mm]0 \notin \IN[/mm] habe.)
Ich wollte es nur ausdrücklich machen. Philosophisch würde ich auch eher [mm] $0\notin\mathbb{N}$ [/mm] vertreten. Aber in der Analysis, und auch den meisten anderen Disziplinen finde ich es doch oftmals sehr praktisch, wieviele Ausnahmen sich damit umgehen lassen. Während es in Zahlentheorie vermutlich wieder genau anders herum aussieht. Mathematisch ist es ja auch zum Glück nicht relevant.
> Edit: Wobei es eine Ausnahme gibt: Für [mm]n=1\,[/mm] kommt doch
> wieder
> [mm]\IN \setminus \{0\}[/mm] raus!
Stimmt, das übersieht man leicht.
> > > P.P.S. Hast Du auch bewiesen, dass [mm]d\,[/mm] eine Metrik auf
> > [mm]\IN \setminus \{0\}[/mm]
> > > ist
> > Ja, das habe ich schon.
>
> Sehr gut!
>
> > Danke,
> > Labrinth
>
> Gerne!
>
> Gruß,
> Marcel
Beste Grüße,
Labrinth
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