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Ich hab mal ne Aufgabe, wo ich Null ahnung hab:
Gegeben sei die durch
f: x --> x/(1 + Betrag x)
definierte Funktion f: R --> (-1,1). Jetzt soll ich beweisen, dass mit der Definition d(x,y):= Betrag [f(x)-F(y)] für alle x,y Element R eine Metrik d auf R definiert ist!
War leider nicht in der Vorlesung, da ich Klausur schreiben musste. Kann mir jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:40 Sa 16.04.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
Eine Funktion [mm] $d:\IR^2\to\IR$ [/mm] ist genau dann eine Metrik auf [mm] $\IR$, [/mm] wenn
a.) [mm] $d(x,y)\geq [/mm] 0$, wobei $d(x,y)=0$ genau dann gilt, wenn $x=y$ [Definitheit]
b.) $d(a,b)=d(b,a)$ [Symmetrie]
c.) [mm] $d(a,b)\leq [/mm] d(a,c)+d(c,b)$ [Dreiecksungleichung]
gilt; du musst also für die dir gegebene Abbildung [mm] $f:\IR^2\to [/mm] (-1,1)$ mit [mm] $(x,y)\mapsto\left| \frac{x}{1+|x|}-\frac{y}{1+|y|}\right|$ [/mm] die obigen Aussagen beweisen. Ich gebe dir erstmal ein paar skizzenhafte Tips:
- da [mm] $|x|\geq [/mm] 0, [mm] x\in \IR$ [/mm] gilt, ist $d(x,y)$ in jedem Fall größer 0.
- da $|a-b|=|b-a|$ gilt folgt sofort $d(x,y)=d(y,x)$
- die Gültigkeit von (c) folgt sofort aus [mm] $|a-b|\leq [/mm] |a-c|+|c-b|$
Insgesamt folgen alle drei Bedingungen aus der Tatsache, dass [mm] $d:\IR^2\to\IR$ [/mm] mit [mm] $(x,y)\mapsto [/mm] |x-y|$ selbst eine Metrik ist.
Wenn du noch Fragen hast, nur zu :)
Liebe Grüße,
Hanno
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Und wie kann ich zeigen, dass p(x,y) = Betrag (arctan x - arctan y) ein metrischer Raum ist? ist das vom Prinzip das gleiche, wie bei der ersten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:59 Sa 16.04.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo sternchen!
> Und wie kann ich zeigen, dass
> p(x,y) = Betrag (arctan x - arctan y)
> ein metrischer Raum ist?
> ist das vom Prinzip das gleiche, wie bei der ersten?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Im Prinzip kannst Du die obige Aufgabe abschreiben, nur halt immer [mm] $\arctan(x)$ [/mm] bzw. [mm] $\arctan(y)$ [/mm] einfügen.
Gruß
Loddar
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