Metrik auf endlichen Mengen < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen,
ich arbeite in diesem Semester an einem kleinem Forschungsprojekt und habe ein paar Fragen, bzw. die Bitte an Euch, mich zu korrigieren, falls ich mit meinen Annahmen falsch liege. Ich würde mich auch sehr über weitere Anregungen und Ideen freuen.
Es geht darum, ein Distanzmaß $d$ auf der Potenzmenge [mm] $\mathcal{P}(\chi)$ [/mm] einer endlichen Menge [mm] $\chi$ [/mm] zu definieren. Ich möchte prinzipiell eine Kenngröße haben, an der ich ablesen kann, wie stark unterschiedlich zwei Mengen sind. Ich dachte dabei zuerst an die Mächtigkeit der symmetrischen Differenz $A [mm] \Delta [/mm] B$ zweier Mengen $A, B [mm] \in \mathcal{P}(\chi)$, [/mm] also $d(A,B) = |A [mm] \Delta [/mm] B|$. Dabei müsste $d$ meiner Meinung nach alle Eigenschaften einer Metrik erfüllen. Bitte gebt mir hierzu ein kurzes Feedback, ob ich bis hierhin richtig liege.
Ein Problem bei der symmetrischen Differenz ist Folgendes: angenommen ich habe zwei Mengen A und B, deren symmetrische Differenz die Mächtigkeit 4 besitzt.
Nun ist es im Falle dieser Metrik unerheblich, wie viele Elemente A und B jeweils enthalten. D.h. 2-elementige Mengen A und B (die sich dann völlig unterscheiden) bekommen den selben Distanzwert, wie bspw. 1000-elementige Mengen A und B, die eine große Schnittmenge haben und sich nur in wenigen Elementen unterscheiden.
Ich möchte die Größe beider Mengen jedoch in der Metrik mit berücksichtigen. Eventuell genügt es, mit dem Quotienten aus den Mächtigkeiten der Vereinigung und dem Schnitt beider Mengen zu multiplizieren. Das ergäbe dann $d'(A, B) = | A [mm] \Delta [/mm] B [mm] |\frac{ |A \cup B | }{|A \cap B |}$. [/mm] Das Problem hierbei ist natürlich eine leere Schnittmenge. Auch stellt sich die Frage, ob $d'$ überhaupt noch die Eigenschaften einer Metrik erfüllt (insbesondere Dreiecksungleichung). Eventuell wäre die Folgende eine bessere Metrik: $d''(A,B) := [mm] \frac{|A \Delta B|}{|A \cup B|}$. [/mm] Die wäre sogar normiert auf $[0;1]$. Was denkt Ihr dazu? Habt Ihr andere Ideen?
Vielen Dank im Voraus!
Gratwanderer
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:06 Di 02.06.2015 | | Autor: | Ladon |
Hallo Gratwanderer,
zeigen wir doch mal, dass $d$ eine Metrik ist, indem wir die Definition überprüfen:
1.) positive Definitheit: [mm] d(A,B)\ge0 $\forall [/mm] A,B$ zwei Mengen per Definitionem. Ferner [mm] $d(A,B)=0\gdw [/mm] A=B$ (vgl. Def.).
2.) Symmetrie: [mm] $d(A,B)=|A\Delta B|=|(A\setminus B)\cup (B\setminus A)|=|(B\setminus A)\cup(A\setminus B)|=|B\Delta [/mm] A|=d(A,B)$.
3.) Dreiecksungleichung:
[mm] $d(A,B)=|A\Delta B|=|(A\setminus B)\cup (B\setminus A)|\le|((C\setminus A)\cup (B\setminus C))\cup ((C\setminus B)\cup (A\setminus C))|\le|(A\setminus C)\cup(C\setminus A)|+|(C\setminus B)\cup(B\setminus C)|=|A\Delta C|+|C\Delta [/mm] B|$, wobei das letzte [mm] \le [/mm] daher kommt, dass die betreffenden Mengen i.A. nicht disjunkt sein müssen.
Deine weiteren Ideen hören sich vernünftig an. Man könnte das Problem des leeren Schnitts umgehen, indem man einfach im Falle [mm] $|A\cap B|=|\emptyset|=0$, $|A\cap B|=|\emptyset|:=1$ [/mm] setzt. Man kann dann allerdings dies nicht mehr von [mm] $|A\cap [/mm] B|=1$ unterscheiden...
Ich schätze eine Umfrage würde sich lohnen!
MfG
Ladon
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Hallo Ladon,
vielen Dank für die schnelle und hilfreiche Antwort. Der nächste Schritt für mich wäre es jetzt, die Metriken zu implementieren und deren Resultate vergleichen. Dabei kann ich das Problem der leeren Schnittmenge gleich software-seitig abfangen.
Viele Grüße
Gratwanderer
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