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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:08 Mi 02.08.2006 | | Autor: | VerenaB |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass im metrischen Raum $( [mm] \IN,d)$ [/mm] mit der Metrik $d(m,n):= |m-n|/mn$ jede einpunktige Menge offen ist. Wie sehen die abgeschlossenen, zusammenhängenden und kompakten Mengen in diesem metrischen Raum aus? |
Hallo,
ich sehe nicht, welche Mengen hier alle offen sind. Sicher sind endliche Mengen (endliche Vereinigungen von einpunktigen Mengen) offen. Doch wie ist das mit unendlichen Teilmengen?
Um zu zeigen, dass jede enpuktige Teilmenge offen ist, habe ich gezeigt, dass für alle $m [mm] \not= [/mm] n$ gilt: $d(m,n) [mm] \ge 1/(n+1)^2$.
[/mm]
Damit liegt in einer [mm] $1/(n+1)^2$ [/mm] Umgebung von n keine andere Zahl $m [mm] \in \IN$.
[/mm]
Bei einer unendlichen Menge funktioniert ein solches Argument nicht mehr!
Ich habe auch überlegt, ob man hier von einer von [mm] \IR [/mm] auf [mm] \IN [/mm] induzierten Topologie sprechen kann, so dass für alle offenen Mengen $U [mm] \in \IR$ [/mm] gilt $U [mm] \cap \IN$ [/mm] ist offen. Doch ist ja die Topologie hier nicht die natürliche Topologie... Da glaube ich fast, dass man nicht in diese Richtung argumentieren kann...
Grüße, Verena
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:59 Mi 02.08.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallöchen Verena.
> Sicher sind endliche Mengen (endliche Vereinigungen von einpunktigen Mengen) offen.
Nach Definition des topologischen Raumes sind nicht nur endliche, sondern beliebige Vereinigungen offener Mengen wieder offen. Folglich ist jede beliebige Vereinigung einpunktiger Mengen wieder offen. Was heißt das konkret? Gibt es überhaupt Mengen, die nicht offen sind?
Wenn du das hast, sollten die übrigen Fragen kein Problem mehr sein.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:01 Mi 02.08.2006 | | Autor: | VerenaB |
Hallo Hanno,
warum weiß ich aber, dass in dieser Topologie die Vereinigung offener Mengen wieder offen sind? Die Aussage gilt ja, denke ich, nicht für jede Topologie: Betrachte ich beispielsweise in der natürlichen Topologie auf [mm] \IR [/mm] die Intervalle $]1/n; 1-1/n[$ und bilde die Vereinigung $ [mm] \bigcup_{i=1}^{\infty}]1/n; [/mm] 1-1/n[$, so erhalte ich doch das nicht offene Intervall $[0; 1]$ .
Liebe Grüße
Verena
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:24 Mi 02.08.2006 | | Autor: | statler |
..., liebe Verena, dann müßte ja die Null in einer der einzelnen Mengen, die da vereinigt werden, liegen, tut sie aber nicht!
Ciao
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:49 Mi 02.08.2006 | | Autor: | VerenaB |
... danke, Dieter, jetzt ist's mir klar, da hab ich verwechselt. Das war ja die Aussage, dass die Vereinigung abgeschlossener Mengen nicht abgeschlossen sein muss....
Lg, Verena
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