Metrik der französischen Bahn < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:17 Mi 26.04.2006 | | Autor: | Gero |
| Aufgabe | Es sei [mm] \IR^2 [/mm] eine cartesische Ebene mit Ursprung 0. Haben eine Metrik d(x,y) mit x,y [mm] \in \IR^2. [/mm] Liegen die zwei Punkte x und y auf einer Geraden durch den Ursprung 0 haben wir den euklidischen Abstand. Gilt dies nicht, sei d(x,y) die Summe der euklidischen Abstände zwischen (x,0) und (0,y).
Zeige, dass d: [mm] \IR^2 \to \IR [/mm] eine Metrik definiert, die nicht von einer Norm induziert ist. |
Buona sera a tutti! *gg*
die Definition dieser Metrik an sich hab ich ja verstanden, aber die Fragestellung am Schluß leuchtet mir nicht so ganz ein.
Meint man damit, dass die obere Metrik die Axiome einer Norm nicht erfüllt? Oder hab ich das falsch verstanden?
Wenn ja, müßte ich ja nur die Axiome der Norm "versuchen" nachzuweisen, oder nicht?
Bin ein bissel irretiert. Wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte! Danke schonmal im voraus!
Liebe Grüße
Gero
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:04 Mi 26.04.2006 | | Autor: | Berti |
also erstmal sollst du sicherlich zeigen dass die drei eigenschaften einer metrik erfüllt sind. das bekommst du hin oder?
nun solltest du dir überlegen was denn der unterschied zwischen norm und metrik ist (metrik ist eine art abstand und norm eine art länge) überlege dir z.b. dass die euklidische norm die länge eines vektors beschreibt und die euklidische metrik, also der abstand zweier punkte die norm der differenz der orstvektoren beider ist was ja eine länge ist.
nun schaue was hier bei der air-france-metrik nicht unktioniert.
beachte dass die begriffe abstand und länge nur hilfsweise verwendet werden und nicht ganz exakt sind
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:05 Mi 26.04.2006 | | Autor: | Berti |
achtung diese metrik ist nicht wie ich meinte die air-france metrik sondern wie du schon meintest die metrik der französischen eisenbahn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 Do 27.04.2006 | | Autor: | Gero |
Also gut! Das ganze sieht nun also so aus:
[mm] d(x,y)=\begin{cases} |x-y| , & \mbox{falls } \mbox{ x und y auf der Geraden} \\ |x| + |y|, & \mbox{sonst } \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Stimmt das so? Ich teste dann mal, ob das eine Metrik ist in dem ich die Axiome nachprüfe. Also z.B.:
d(x,y)= d(x,0) + d(y,0) = |x| + |y| = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] x=0 und y=0 (?)
für |x-y| gilt´s ja sowieso.
Nun, nehm ich an, dass die Metrik von einer Norm induziert wird. Dann z.z.:
(i) d(x+z,y+z) = d(x,y)
(ii) d(ax,ay) = |a| d(x,y) a [mm] \in [/mm] IK
Also: d(x+z,y+z) = |x+z| + |y+z| [mm] \le [/mm] |x|+|z|+|y|+|z| = 2 |z| + d(x,y) [mm] \Rightarrow [/mm] Widerspruch
bei |x-y| gilt´s ja sowieso. Nun noch das gleiche bei (ii) und ich bin fertig. Oder hab ich irgendwasfalsch gemacht???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:10 Do 27.04.2006 | | Autor: | Schlurcher |
Hallo beim Überprüfen der Eigenschaften einer Metrik musst du bei der Dreiecksungleichung aufpassen, da es dort 5 Fälle zu unterscheiden gibt (du hast 3 Punkte, die unterschiedlich zueinander liegen können).
Schlurcher
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:23 Do 27.04.2006 | | Autor: | Gero |
Aha, und was meinst du damit genau? Ich weiß gar nicht, wie du auf 5 kommst! Könntest du mir vielleicht ein Beispiel angeben?
Danke!
Gruß
Gero
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:58 Sa 29.04.2006 | | Autor: | Schlurcher |
Du hast bei der Dreiecksungleichung ja sozusagen drei Punkte, im Folgenden A B C und sozusagen einen Ursprung.
Nebenbemerkung zum Verständnis: Es handelt sich ja um die Französiche Eisenbahnmetrik, d.h. der Ursprung war Paris und alle Bahnlinien wurden in Richtung Paris gebaut und wenn zwei Punkte auf einer Geraden durch Paris lagen konnte der Abstand durch die erste Formel berechnen. Lagen die Punkte nicht auf einer geraden durch Paris musste man umständlicherweise über Paris fahren (2. Formel)
Ok, jetzt die Fälle:
1. Fall: A B C liegen auf einer Geraden durch Ursprung=> Abstand A B über erste Formel, Abstand B C über erste Formel, Abstand A C über erste Formel
2. Fall: A B auf einer Geraden durch Ursprung, C nebenan => Abstand A B über erste Formel, Abstand B C über zweite Formel, Abstand A C über zweite Formel
3. Fall: A B C nicht auf einer Geraden durch Ursprung => Abstand A B über zweite Formel, Abstand B C über zweite Formel, Abstand A C über zweite Formel
+ 2 Weitere
Grüße Schlurcher
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:12 Mo 01.05.2006 | | Autor: | Gero |
Oh, stimmt! Vielen Dank! Manchmal steh ich wirklich aufm Schlauch. Ich hab einfach manchmal Probleme mir das vorzustellen.
Nen schönen Tag noch!
Grüßle
Gero
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