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Forum "Analysis des R1" - Metrik, glm. Konvergenz
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Metrik, glm. Konvergenz: Kompakt, stetig, glm Konv.
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:33 So 11.05.2014
Autor: YuSul

Aufgabe
Seien $X,Y, Z$ metrische Räume mit Metriken [mm] $d_X, d_Y, d_Z$, [/mm] sei $Y$ kompakt. Ferner seien [mm] $f_n: X\to [/mm] Y$ eine gleichmäßig konvergente Funktionenfolge und [mm] $g:Y\to [/mm] Z$ eine stetige Funktion. Zeigen Sie: Die Funktionenfolge [mm] $g\circ f_n: X\to [/mm] Z$ konvergiert gleichmäßig.

Hi,

ich beschäftige mich gerade mit dieser Aufgabe und habe ein kleines Problem.

Um die gleichmäßige Konvergenz zu zeigen muss ich ja zeigen, dass für alle [mm] $\epsilon>0$ [/mm] ein [mm] $N\in\mathbb{N}$ [/mm] existiert mit [mm] $d(f_n(x),f(x))<\epsilon$ [/mm] für [mm] $x\in [/mm] X$.

Im Bezug auf diese Aufgabe tue ich mir gerade ein wenig mit der Verkettung schwer.

[mm] $g\circ f_n: X\to [/mm] Z$

"Formal" bleibt es doch erstmal dabei, dass ich

[mm] $d(f_n(x),f(x))$ [/mm] untersuche, oder?

        
Bezug
Metrik, glm. Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:37 So 11.05.2014
Autor: hippias


> Seien [mm]X,Y, Z[/mm] metrische Räume mit Metriken [mm]d_X, d_Y, d_Z[/mm],
> sei [mm]Y[/mm] kompakt. Ferner seien [mm]f_n: X\to Y[/mm] eine gleichmäßig
> konvergente Funktionenfolge und [mm]g:Y\to Z[/mm] eine stetige
> Funktion. Zeigen Sie: Die Funktionenfolge [mm]g\circ f_n: X\to Z[/mm]
> konvergiert gleichmäßig.
>  Hi,
>
> ich beschäftige mich gerade mit dieser Aufgabe und habe
> ein kleines Problem.
>
> Um die gleichmäßige Konvergenz zu zeigen muss ich ja
> zeigen, dass für alle [mm]\epsilon>0[/mm] ein [mm]N\in\mathbb{N}[/mm]
> existiert mit [mm]d(f_n(x),f(x))<\epsilon[/mm] für [mm]x\in X[/mm].
>  
> Im Bezug auf diese Aufgabe tue ich mir gerade ein wenig mit
> der Verkettung schwer.
>  
> [mm]g\circ f_n: X\to Z[/mm]
>  
> "Formal" bleibt es doch erstmal dabei, dass ich
>
> [mm]d(f_n(x),f(x))[/mm] untersuche, oder?

"Diese" Frage verstehe ich nicht. Gegen welche Funktion wird die Folge [mm] $(g\circ f_n)$ [/mm] denn vermutlich konvergieren? Gehe mit dieser Grenzfunktion die Definition der gleichmaessigen Konvergenz durch.

Bezug
                
Bezug
Metrik, glm. Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:40 So 11.05.2014
Autor: YuSul

Naja wahrscheinlich gegen $g: [mm] Y\to [/mm] Z$

Bezug
                        
Bezug
Metrik, glm. Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:56 So 11.05.2014
Autor: hippias

Wieso sollte [mm] $g\circ f_{n}$ [/mm] gegen $g$ konvergieren!?

Bezug
                                
Bezug
Metrik, glm. Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:10 So 11.05.2014
Autor: YuSul

Weil [mm] $f_n$ [/mm] gegen $Y$ konvergiert. Scheint aber falsch zu sein, dass [mm] $g\circ f_n$ [/mm] dann gegen $g$ konvergiert.

Bezug
                                        
Bezug
Metrik, glm. Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:17 So 11.05.2014
Autor: hippias

Du weisst aber schon, dass [mm] $f_{n}$ [/mm] eine Funktion ist und $Y$ ein metrischer Raum? Da ergibt [mm] $\lim f_{n}= [/mm] Y$ wohl kaum Sinn.

Nach Voraussetzung ist [mm] $(f_{n})$ [/mm] (gleichmaessig) konvergent, sagen wir [mm] $\lim f_{n}= [/mm] f$. Was koennte nun [mm] $\lim g\circ f_{n}$ [/mm] sein?

Bezug
                                                
Bezug
Metrik, glm. Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:19 So 11.05.2014
Autor: YuSul

Dann einfach [mm] $g\circ [/mm] f$?

Bezug
                                                        
Bezug
Metrik, glm. Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:29 So 11.05.2014
Autor: hippias

Ja. Weise nun nach, dass [mm] $(g\circ f_{n})$ [/mm] gleichmaessig konvergiert.

Bezug
                                                                
Bezug
Metrik, glm. Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:33 So 11.05.2014
Autor: YuSul

Womit ich wieder bei meinem anfänglichem Problem wäre. :)
Muss ich [mm] $d(f_n(x),f(x))<\epsilon$ [/mm] betrachten?

Bezug
                                                                        
Bezug
Metrik, glm. Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:37 So 11.05.2014
Autor: hippias

Naja, wenigstens hast Du jetzt einen Ansatz. Wenn Du von der Folge [mm] $g\circ f_{n}$ [/mm] gleichmaessige Konvergenz nachweisen moechtest, ist es vermutlich eine gute Idee auch diese Folge zu betrachten.
Also was musst Du laut Definition fuer diese Folge zeigen?


Bezug
                                                                                
Bezug
Metrik, glm. Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:46 So 11.05.2014
Autor: YuSul

Ich muss für die gleichmäßige Konvergenz zeigen, dass für alle [mm] $\epsilon>0$ [/mm] ein [mm] $N\in \mathbb{N}$ [/mm] existiert so, dass für alle [mm] x\in [/mm] X gilt

[mm] $d(f_n(x),f(x))$ [/mm]

Bezogen auf [mm] $f_n:(X, d_1)\to [/mm] (Y, [mm] d_2)$ [/mm] (um "unsere" Definition zu zitieren)

Wie gesagt, ich bin mir eigentlich nur nicht so sicher was für einen "Abstand" ich nun bei meiner verketteten Funktion betrachten soll. Ansonsten wüsste ich glaube ich wie ich hier die gleichmäßige Konvergenz zeigen kann. Die Dreiecksungleichung sollte Abhilfe schaffen.

Bezug
                                                                                        
Bezug
Metrik, glm. Konvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:48 Mo 12.05.2014
Autor: YuSul

Die Frage ist zwar abgelaufen, aber über weitere Anmerkungen würde ich mich sehr freuen. :)

Bezug
                                                                                        
Bezug
Metrik, glm. Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:18 Di 13.05.2014
Autor: fred97

Die Voraussetzung, dass Y kompakt ist, hast Du bislang ignoriert ! Ohne diese Vor. wirds nix !

Es ist Y kompakt und g:Y [mm] \to [/mm] Z stetig. Dann ist g sogar was ???

FRED

Bezug
                                                                                                
Bezug
Metrik, glm. Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 06:26 Di 13.05.2014
Autor: YuSul

Dann ist g gleichmäßig stetig.

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Metrik, glm. Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:51 Di 13.05.2014
Autor: fred97


> Dann ist g gleichmäßig stetig.

Bingo !

Ich möchte Dir (anhand Deiner Aufgabe) mal zeigen , wie man Mathematik strategisch-psychologisch-geschickt "macht".

Dazu setze ich zur Abkürzung [mm] $h_n:=g \circ f_n$. [/mm] Zu zeigen ist also die gleichmäßige Konvergenz der Folge [mm] (h_n). [/mm]

Die erste Frage ist: konvergiert [mm] (h_n) [/mm] auf X punktweise und wogegen ?

Dazu nehmen wir uns ein x [mm] \in [/mm] X her und betrachten [mm] (h_n(x)): [/mm]

(*)   [mm] h_n(x)=g(f_n(x)). [/mm]

Da [mm] (f_n) [/mm] auf X glm. konvergiert, konv. [mm] (f_n) [/mm] auf X auch punktweise. Somit sind wir geneigt, zu definieren:

    [mm] f(x):=\limes_{n\rightarrow\infty}f_n(x). [/mm]

Wir bekommen also eine Funktion f:X [mm] \to [/mm] Y.

Warum folgt nun aus (*):  [mm] h_n(x) \to [/mm] g(f(x))   (n [mm] \to \infty) [/mm] ?


Wir haben also: [mm] (h_n) [/mm] konvergiert auf X punktweise gegen $h:=g [mm] \circ [/mm] f$.

Nun überlegen wir uns, wo wir hinwollen. Dahin:

Ist [mm] \varepsilon [/mm] > 0, so müssen wir zeigen: es ex. ein N [mm] \in \IN [/mm] mit:

    (1)  [mm] d_Z(h_n(x),h(x)) [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm]  für alle n>N und alle x [mm] \in [/mm] X.

Schreiben wir (1) deutlicher auf:

     (1') [mm] d_Z(g(f_n(x)),g(f(x))) [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm]  für alle n>N und alle x [mm] \in [/mm] X.

Wie kommen wir dahin ? Wir bräuchten so etwas wie

      [mm] d_Z(g(u),g(v)) [/mm]  < [mm] \varepsilon [/mm]   für ....

Nun schauen wir in die Voraussetzungen, um zu eruieren, ob wir etwas von den Vor. noch nicht benutzt haben. Wenn wir fündig werden, so hauen wir das schnellstens in die Pfanne !

Werden wir fündig ? Aber hallo, klar doch ! Benutzt haben wir noch nicht die glm. Konvergenz von [mm] (f_n) [/mm] gegen f und die Kompaktheit von Y.

Jetzt fällt uns ein (oder sollte uns einfallen):

   stetige Funktionen auf kompakten Mengen sind dort glm. stetig.

Also hoffen wir, dass uns die glm. Stetigkeit von g weiterbringt. Versuchen wirs (mit einem Blick auf (1')):

Zu obigem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 gibt es ein [mm] \delta [/mm] > 0 mit

  (2)   [mm] d_Z(g(u),g(v)) [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für alle u,v [mm] \in [/mm] Y mit [mm] d_Y(u,v) [/mm] < [mm] \delta. [/mm]

Schauen wir auf (1'). Wir hätten

    (1') [mm] d_Z(g(f_n(x)),g(f(x))) [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm]  für alle n>N und alle x [mm] \in [/mm] X,

wenn

     [mm] d_Y(f_n(x),f(x))< \delta [/mm] ausfällt für alle n>N und alle x [mm] \in [/mm] X.

Nochmal: die glm. Konvergenz von [mm] (f_n) [/mm] gegen f haben wir noch nicht benutzt !

Wenn wir das benutzen, so finden wir ein N [mm] \in \IN [/mm] mit

     [mm] d_Y(f_n(x),f(x)) \delta [/mm]  für alle n>N und alle x [mm] \in [/mm] X.

Zusammen mit (2) folgt dann (1') und damit (1).

FRED




Bezug
                                                                                                                
Bezug
Metrik, glm. Konvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:44 Di 13.05.2014
Autor: YuSul

Vielen Dank für die ausführliche Erklärung und Anleitung. Ich hoffe, dass ich diese Vorgehensweise zukünftig selber anwenden kann.

Gerade du hast mir seit meiner Ankunft immer wieder geholfen. Dafür danke ich dir sehr, dass du meine teils dummen fragen immer wieder gerne beantwortest.



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