Metrik, offene/kompakte Menge < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:41 Mi 07.05.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Auf einer Menge $X$ sei folgende Abbildung [mm] $d:X\times X\to \mathbb{R}$ [/mm] definiert:
[mm] $d(x,y):=\begin{cases} 0,\text{falls}\quad x=y\\ 1,\text{sonst}\end{cases}$
[/mm]
a) Beweisen Sie, dass $d$ eine Metrik auf $X$ definiert.
b) Charakterisieren Sie die offenen, abgeschlossenen und kompakten Mengen des metrischen Raumes $(X,d)$ |
Hi, ich bräuchte gerade etwas Hilfe, gerade für den Aufgabenteil b)
Ich denke a) sollte soweit korrekt sein.
zu a)
d(x,x)=0 nach Definition. [mm] $\checkmark$
[/mm]
Symmetrie:
$d(x,y)=d(y,x) [mm] \forall x,y\in [/mm] X$
Ist offensichtlich erfüllt.
Definitheit:
[mm] $\forall x,y\in [/mm] X gilt [mm] d(x,y)=0\Rightarrow [/mm] x=y$
Ebenfalls offensichtlich, nach Definition der trivialen Metrik.
Dreiecksungleichung:
[mm] $d(x,z)\leq [/mm] d(x,y)+d(y,z) [mm] \forall x,y,z\in [/mm] X$
Beweise ich durch Widerspruch:
Angenommen
$d(x,z)>d(x,y)+d(y,z)$
Dann ist [mm] $x\neq [/mm] z$, weil wir sonst direkt einen Widerspruch haben, wegen
0>0 bzw. 0>1 oder 0>2
Wegen [mm] $x\neq [/mm] z$ ist auch [mm] $y\neq [/mm] z$ womit wir
1>2 erhalten.
Widerspruch.
Somit hat sich $d$ als Metrik auf $X$ erwiesen.
Soweit korrekt?
Nun zu der b)
Die diskrete Metrik ist offen und abgeschlossen, weil alle einelementigen Mengen der diskreten Mengen offen sind und ich diese beliebig oft miteinander vereinigen kann und so die ganze Menge erhalten würde.
Ebenso ist die ganze Menge abgeschlossen.
Und kompakt ist sie, weil ich sie wieder durch die ganzen einelementigen Mengen überdecken kann.
Aber was ist in der Aufgabenstellung mit charakterisieren gemeint?
Ist das so überhaupt richtig, was ich schreibe?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Do 08.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Über eine Rückmeldung würde ich mich sehr freuen. :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:48 Do 08.05.2014 | | Autor: | Berieux |
Hallo!
> Auf einer Menge [mm]X[/mm] sei folgende Abbildung [mm]d:X\times X\to \mathbb{R}[/mm]
> definiert:
>
> [mm]d(x,y):=\begin{cases} 0,\text{falls}\quad x=y\\ 1,\text{sonst}\end{cases}[/mm]
>
> a) Beweisen Sie, dass [mm]d[/mm] eine Metrik auf [mm]X[/mm] definiert.
> b) Charakterisieren Sie die offenen, abgeschlossenen und
> kompakten Mengen des metrischen Raumes [mm](X,d)[/mm]
> Hi, ich bräuchte gerade etwas Hilfe, gerade für den
> Aufgabenteil b)
> Ich denke a) sollte soweit korrekt sein.
>
> zu a)
>
> d(x,x)=0 nach Definition. [mm]\checkmark[/mm]
>
> Symmetrie:
>
> [mm]d(x,y)=d(y,x) \forall x,y\in X[/mm]
>
> Ist offensichtlich erfüllt.
>
> Definitheit:
>
> [mm]\forall x,y\in X gilt d(x,y)=0\Rightarrow x=y[/mm]
>
> Ebenfalls offensichtlich, nach Definition der trivialen
> Metrik.
>
> Dreiecksungleichung:
>
> [mm]d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z) \forall x,y,z\in X[/mm]
>
> Beweise ich durch Widerspruch:
>
> Angenommen
>
> [mm]d(x,z)>d(x,y)+d(y,z)[/mm]
>
> Dann ist [mm]x\neq z[/mm], weil wir sonst direkt einen Widerspruch
> haben, wegen
> 0>0 bzw. 0>1 oder 0>2
>
> Wegen [mm]x\neq z[/mm] ist auch [mm]y\neq z[/mm] womit wir
>
> 1>2 erhalten.
> Widerspruch.
>
> Somit hat sich [mm]d[/mm] als Metrik auf [mm]X[/mm] erwiesen.
>
> Soweit korrekt?
>
Ja, sieht ok aus, wobei der letzte Punkt weniger umständlich bewiesen werden kann.
> Nun zu der b)
>
> Die diskrete Metrik ist offen und abgeschlossen, weil alle
> einelementigen Mengen der diskreten Mengen offen sind und
> ich diese beliebig oft miteinander vereinigen kann und so
> die ganze Menge erhalten würde.
> Ebenso ist die ganze Menge abgeschlossen.
> Und kompakt ist sie, weil ich sie wieder durch die ganzen
> einelementigen Mengen überdecken kann.
>
> Aber was ist in der Aufgabenstellung mit charakterisieren
> gemeint?
> Ist das so überhaupt richtig, was ich schreibe?
Was du hier machst verstehe ich nicht. Du hast damit recht, dass die einelementigen Mengen offen sind (Wieso ist das denn so?). Du sollst halt alle offenen Mengen angeben. Darüberhinaus auch alle abgeschlossenen und alle kompakten Teilmengen. X selbst ist übrigens im allgemeinen bezüglich dieser Topologie nicht kompakt.
Viele Grüße,
Berieux
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 Do 08.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Dann sind alle offenen Mengen die einelementigen Mengen und die abgeschlossene Mengen sind die leere Menge und die Menge selbst.
Kompakt sollte sie nicht sein, da es keine endliche Teilüberdeckung von offenen Mengen gibt. Da sollte ich mich oben vertan haben.
Zu der Offenheit:
Hier habe ich eine Epsilon-Kugel um einen Punkt genommen. Wenn [mm] $\epsilon\geq [/mm] 1$ ist, dann ist
[mm] $B_\epsilon(x)=X$
[/mm]
Denn egal was ich in der Metrik für zwei Punkte haben, es kann ja nicht größer als 1 sein. Die Ungleichung ist immer erfüllt.
Wenn jedoch [mm] $\epsilon<1$ [/mm] ist, dann ist die Menge für die dies gilt nur einelementig. Es gilt nur für den jeweiligen Punkt um den ich den Epsilon-Ball "lege".
Zum Beispiel [mm] $\epsilon=1/2$
[/mm]
[mm] $B_{\frac{1}{2}}(x)=\{x\}$
[/mm]
Und damit offen, weil es eine Epsilon-Umgebung gibt.
Nun ist die Vereinigung von offenen Mengen wieder offen. Ich kann jeden Punkt der Menge vereinigen und würde so die ganze Menge erhalten, welche nun offen ist.
Also ist jede Teilmenge A von X offen, weil ich sie so "erzeugen" kann.
Das heißt aber auch, dass wenn ich eine Teilmenge von X wähle, nennen wir sie B, dann ist
[mm] $X\setminus [/mm] B$ offen, weil [mm] $X\setminus B\subset [/mm] X$
Und somit B abgeschlossen.
Also sind alle Teilmengen sowohl offen als auch abgeschlossen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:26 Fr 09.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Dann sind alle offenen Mengen die einelementigen Mengen und
> die abgeschlossene Mengen sind die leere Menge und die
> Menge selbst.
Das stimmt nicht. Komisch ist nur, dass Du unten völlig richtig schreibst: "Also sind alle Teilmengen sowohl offen als auch abgeschlossen. "
>
> Kompakt sollte sie nicht sein
Meinst Du ganz X ? Wenn ja, so stimmt das nicht immer.
> , da es keine endliche
> Teilüberdeckung von offenen Mengen gibt.
Das ist nicht präzise genug !
Sei A eine Teilmenge von X
Fall 1: A ist unendlich. Es ist [mm] A=\bigcup_{a \in A}^{}\{a\}. [/mm] Damit ist
[mm] \mathcal{A}:=\{ \{a\}: a \in A\} [/mm]
eine offene Überdeckung von A, die keine endliche Teilüberdeckung von A enthält.
A ist also nicht kompakt.
Fall 2: A ist endlich. Zeige nun Du: A ist kompakt.
Fazit: A ist kompakt [mm] \gdw [/mm] A ist endlich.
FRED
> Da sollte ich
> mich oben vertan haben.
>
> Zu der Offenheit:
>
> Hier habe ich eine Epsilon-Kugel um einen Punkt genommen.
> Wenn [mm]\epsilon\geq 1[/mm] ist, dann ist
>
> [mm]B_\epsilon(x)=X[/mm]
>
> Denn egal was ich in der Metrik für zwei Punkte haben, es
> kann ja nicht größer als 1 sein. Die Ungleichung ist
> immer erfüllt.
>
> Wenn jedoch [mm]\epsilon<1[/mm] ist, dann ist die Menge für die
> dies gilt nur einelementig. Es gilt nur für den jeweiligen
> Punkt um den ich den Epsilon-Ball "lege".
>
> Zum Beispiel [mm]\epsilon=1/2[/mm]
>
> [mm]B_{\frac{1}{2}}(x)=\{x\}[/mm]
>
> Und damit offen, weil es eine Epsilon-Umgebung gibt.
> Nun ist die Vereinigung von offenen Mengen wieder offen.
> Ich kann jeden Punkt der Menge vereinigen und würde so die
> ganze Menge erhalten, welche nun offen ist.
> Also ist jede Teilmenge A von X offen, weil ich sie so
> "erzeugen" kann.
> Das heißt aber auch, dass wenn ich eine Teilmenge von X
> wähle, nennen wir sie B, dann ist
>
> [mm]X\setminus B[/mm] offen, weil [mm]X\setminus B\subset X[/mm]
>
> Und somit B abgeschlossen.
> Also sind alle Teilmengen sowohl offen als auch
> abgeschlossen.
Ja, das stimmt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:30 Fr 09.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Vielen Dank.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:22 Do 08.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Jemand eine Meinung dazu?
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