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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:46 Di 09.02.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
So ganz komme ich mit dem Thema Metriken noch nicht zurecht, ich hab da noch ein paar Fragen.
1) Offene Mengen
Also im "normalen" [mm] \IR^n [/mm] definiert man offene Mengen ja über [mm] \epsilon-Kugeln K_\epsilon(a):=\{x \in \IR^n : ||x-a||< \epsilon\}
[/mm]
Gilt diese Definition von offenen Mengen nur, wenn in den [mm] \epsilon-Kugeln [/mm] mit der euklidischen Norm [mm] ||x-a||=\wurzel{\summe_{i=1}^{n}(x_i-a_i} [/mm] gearbeitet wird, oder geht das auch mit anderen Normen?
2) Offene Mengen
Offene Mengen in metrischen Räumen sind ja analog definiert. Die [mm] \epsilon-Kugeln [/mm] hier lautet dann ja [mm] K_\epsilon(a):=\{x \in X | d(x,a)< \epsilon\}. [/mm] Kann man hier für d(x,a) jede beliebige Metrik benutzen?
3) Metrische Räume
a) Welche Menge ist zum Beispiel kein metrischer Raum?
b) Wie erkenne ich, ob eine Menge ein metrischer Raum ist, wenn mir keine Metrik einfällt?
4) Euklidische Metrik
a) Was ist die übliche Euklidische Metrik?
b) Was ist der Unterschied zwischen Euklidischer Metrik / Euklidischem Abstand / Euklidischer Norm / Euklidischer Distanz?
5) Metrische Räume
In meinem Buch steht, dass die normierten Räume $(V,||.||)$ mit $d(x-y):=||x-y||$ metrische Räume sind.
Wie sieht die Abbildung (Metrik ist doch eine Abbildung) $d(x-y):=||x-y||$ konkret aus, damit der normierte Raum wirklich ein metrischer Raum ist? Gilt das für alle beliebigen Normen?
6) Metrische Räume
Als metrischer Raum wird ja immer eine beliebige Menge X bezeichnet, auf derem kartesischen Produkt die Abbildung d(x,y) gewisse Eigenschaften erfüllt.
Wenn nun normierte Vektorräume metrische Räume sind, wird dann der komplette normierte Raum mit der Menge X identifiziert, oder nur die Menge V, die zu einem VR wird, auf dem es auch noch eine Norm gibt?
7) Metrische Räume
Kann ein Vektorraum V auch zu einem metrischen Raum werden, ohne dass die Metrik über eine Norm des Vektorraums definiert wird? Also quasi ein metrischer Vektorraum, der nicht normiert ist?
8) Banach-Räume
Also Banach-Räume sind doch vollständige normierte Vektorräume.
Das heißt doch, ich habe zum einen Vektorraum V, auf dem eine Norm definiert ist. Des weiteren ist der Vektorraum vollständig, d.h. jede Cauchyfolgen mit Elementen aus V konvergiert in V.
a) Für Cauchyfolgen in metrischen Räumen gilt ja [mm] d(x_n,x_m)<\epsilon [/mm] für n und m ab einem Index N. Wie muss man die Metrik [mm] d(x_n,x_m) [/mm] wählen, damit ich die Cauchyfolge auf Elemente aus V anwenden kann? Kann es jede beliebige Metrik sein? Muss es eine Norm sein oder kann es auch was anderes sein? Gilt das nur für eine bestimmte Metrik [mm] d(x_n,x_m) [/mm] oder für alle beliebigen?
So, das sind doch eine ganze Menge Fragen.
Ich wäre sehr sehr dankbar, wenn ihr mir ein bisschen weiterhelfen könntet.
LG, Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:06 Di 09.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen!
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> So ganz komme ich mit dem Thema Metriken noch nicht
> zurecht, ich hab da noch ein paar Fragen.
>
> 1) Offene Mengen
> Also im "normalen" [mm]\IR^n[/mm] definiert man offene Mengen ja
> über [mm]\epsilon-Kugeln K_\epsilon(a):=\{x \in \IR^n : ||x-a||< \epsilon\}[/mm]
>
> Gilt diese Definition von offenen Mengen nur, wenn in den
> [mm]\epsilon-Kugeln[/mm] mit der euklidischen Norm
> [mm]||x-a||=\wurzel{\summe_{i=1}^{n}(x_i-a_i}[/mm]
Du meinst sicher: [mm]||x-a||=\wurzel{\summe_{i=1}^{n}(x_i-a_i)^2[/mm]
> gearbeitet wird,
> oder geht das auch mit anderen Normen?
Ist $|||*|||$ irgendeine Norm auf dem [mm] \IR^n, [/mm] so kannst Du ebenso Kugeln def.:
$ [mm] \epsilon-Kugeln K_\epsilon(a):=\{x \in \IR^n : |||x-a|||< \epsilon\} [/mm] $
>
> 2) Offene Mengen
> Offene Mengen in metrischen Räumen sind ja analog
> definiert. Die [mm]\epsilon-Kugeln[/mm] hier lautet dann ja
> [mm]K_\epsilon(a):=\{x \in X | d(x,a)< \epsilon\}.[/mm] Kann man
> hier für d(x,a) jede beliebige Metrik benutzen?
Es ist so: gegeben hast Du einen Metrischen Raum $(X,d)$, wobei X eine Menge ist und d eine metrik auf X (X und d sind also vorgegeben). Dann def. man Kugeln wie oben
>
> 3) Metrische Räume
> a) Welche Menge ist zum Beispiel kein metrischer Raum?
> b) Wie erkenne ich, ob eine Menge ein metrischer Raum ist,
> wenn mir keine Metrik einfällt?
Nochmal: von einem metrischen Raum $(X,d)$ spricht man, wenn X und d gegeben sind
>
> 4) Euklidische Metrik
> a) Was ist die übliche Euklidische Metrik?
Im [mm] \IR^n:[/mm] [mm]d(x,a)=\wurzel{\summe_{i=1}^{n}(x_i-a_i)^2[/mm]
> b) Was ist der Unterschied zwischen Euklidischer Metrik /
> Euklidischem Abstand / Euklidischer Norm / Euklidischer
> Distanz?
Das
[mm]d(x,a)=\wurzel{\summe_{i=1}^{n}(x_i-a_i)^2[/mm]
heißt Euklidische Metrik oder Euklidischem Abstand oder Euklidische Distanz
Das
[mm]||x|| = d(x,0)=\wurzel{\summe_{i=1}^{n}x_i^2[/mm]
ist die Euklidische Norm
>
> 5) Metrische Räume
> In meinem Buch steht, dass die normierten Räume [mm](V,||.||)[/mm]
> mit [mm]d(x-y):=||x-y||[/mm] metrische Räume sind.
> Wie sieht die Abbildung (Metrik ist doch eine Abbildung)
> [mm]d(x-y):=||x-y||[/mm] konkret aus, damit der normierte Raum
> wirklich ein metrischer Raum ist? Gilt das für alle
> beliebigen Normen?
Wenn Du eine irgendeine Norm $||*||$ auf V gegeben hast, so wird V durch
[mm]d(x-y):=||x-y||[/mm]
zu einem metrischen Raum (V,d)
>
> 6) Metrische Räume
> Als metrischer Raum wird ja immer eine beliebige Menge X
> bezeichnet, auf derem kartesischen Produkt die Abbildung
> d(x,y) gewisse Eigenschaften erfüllt.
> Wenn nun normierte Vektorräume metrische Räume sind,
> wird dann der komplette normierte Raum mit der Menge X
> identifiziert, oder nur die Menge V, die zu einem VR wird,
> auf dem es auch noch eine Norm gibt?
Die Frage verstehe ich nicht
>
> 7) Metrische Räume
> Kann ein Vektorraum V auch zu einem metrischen Raum
> werden, ohne dass die Metrik über eine Norm des
> Vektorraums definiert wird? Also quasi ein metrischer
> Vektorraum, der nicht normiert ist?
Ja , so etwas gibt es.Ist V ein Vektorraum, so setze
d(x,y) = 1, falls x [mm] \not=y [/mm] und d(x,y) =0, falls x=y
Dann ist (V,d) ein tadelloser metrischer Raum. Wäre d über eine Norm $||*||$ auf V definiert, so würde gelten
$||x||= d(x,0)$
Für jedes x [mm] \not=0, [/mm] wäre dann $||x||=1$, aso auch $||3*x||=1$. Kann das sein ?
>
> 8) Banach-Räume
> Also Banach-Räume sind doch vollständige normierte
> Vektorräume.
> Das heißt doch, ich habe zum einen Vektorraum V, auf dem
> eine Norm definiert ist. Des weiteren ist der Vektorraum
> vollständig, d.h. jede Cauchyfolgen mit Elementen aus V
> konvergiert in V.
> a) Für Cauchyfolgen in metrischen Räumen gilt ja
> [mm]d(x_n,x_m)<\epsilon[/mm] für n und m ab einem Index N. Wie muss
> man die Metrik [mm]d(x_n,x_m)[/mm] wählen, damit ich die
> Cauchyfolge auf Elemente aus V anwenden kann? Kann es jede
> beliebige Metrik sein? Muss es eine Norm sein oder kann es
> auch was anderes sein? Gilt das nur für eine bestimmte
> Metrik [mm]d(x_n,x_m)[/mm] oder für alle beliebigen?
nochmal: zu "wählen" ist da nix. Metrik bzw. Norm sind vorgegeben
FRED
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> So, das sind doch eine ganze Menge Fragen.
>
> Ich wäre sehr sehr dankbar, wenn ihr mir ein bisschen
> weiterhelfen könntet.
>
> LG, Nadine
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:24 Mi 10.02.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
Ich haette da noch ein paar Ergaenzungen, die Nadine evtl. noch helfen:
> > gearbeitet wird,
> > oder geht das auch mit anderen Normen?
>
> Ist [mm]|||*|||[/mm] irgendeine Norm auf dem [mm]\IR^n,[/mm] so kannst Du
> ebenso Kugeln def.:
>
> [mm]\epsilon-Kugeln K_\epsilon(a):=\{x \in \IR^n : |||x-a|||< \epsilon\}[/mm]
Man sollte beachten, dass man a priori erstmal bei verschiedenen Normen verschiedene Topologien bekommen kann. Es gibt jedoch einen Satz, der besagt, dass alle Normen auf dem [mm] $\IR^n$ [/mm] aequivalent sind, also die gleiche Topologie erzeugen.
(Bei unendlichdimensionalen [mm] $\IR$-Vektorraeumen [/mm] gilt dieser Satz nicht, da koennen verschiedene Topologien auf dem gleichen Raum herauskommen.)
> > 2) Offene Mengen
> > Offene Mengen in metrischen Räumen sind ja analog
> > definiert. Die [mm]\epsilon-Kugeln[/mm] hier lautet dann ja
> > [mm]K_\epsilon(a):=\{x \in X | d(x,a)< \epsilon\}.[/mm] Kann man
> > hier für d(x,a) jede beliebige Metrik benutzen?
>
>
> Es ist so: gegeben hast Du einen Metrischen Raum [mm](X,d)[/mm],
> wobei X eine Menge ist und d eine metrik auf X (X und d
> sind also vorgegeben). Dann def. man Kugeln wie oben
Hier koennen ebenfalls bei verschiedenen Metriken verschiedene Topologien entstehen.
> > 3) Metrische Räume
> > a) Welche Menge ist zum Beispiel kein metrischer Raum?
Du suchst einen topologischen Raum, dessen Topologie nicht durch eine Metrik gegeben wird. Jeder topologische Raum, der nicht Hausdorffsch ist, ist so ein Beispiel, etwa $X = [mm] \{ 1, 2 \}$ [/mm] mit der Topologie [mm] $\tau [/mm] = [mm] \{ \emptyset, X \}$: [/mm] wenn es eine Metrik $d : X [mm] \times [/mm] X [mm] \to \IR$ [/mm] geben wuerde, so dass die durch $d$ induzierte Topologie gleich [mm] $\tau$ [/mm] waere, so muesste [mm] $\tau$ [/mm] auch [mm] $\{ 1 \}$ [/mm] und [mm] $\{ 2 \}$ [/mm] enthalten (das sind jeweils [mm] $\varepsilon$-Kugeln [/mm] um 1 bzw. 2, wobei [mm] $\varepsilon [/mm] = d(1, 2) / 2$ ist).
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:46 Sa 20.02.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
> Man sollte beachten, dass man a priori erstmal bei
> verschiedenen Normen verschiedene Topologien bekommen kann.
> Es gibt jedoch einen Satz, der besagt, dass alle Normen auf
> dem [mm]\IR^n[/mm] aequivalent sind, also die gleiche Topologie
> erzeugen.
Über diesen Satz bin ich vorhin gestolptert.
Allerdings habe ich nicht verstanden, was das für Folgen hat, wenn alle Normen auf [mm] \IR^n [/mm] äquivalent sind.
Den Begriff Topologie hatten wir nicht, deshalb weiß ich nicht recht, was du damit meinst, dass alle äquivalenten Normen auf [mm] \IR^n [/mm] die gleiche Topologie erzeugen.
Wir hatten nur die Begriffe Metrik und Norm .
LG Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:39 Sa 20.02.2010 | | Autor: | pelzig |
> Den Begriff Topologie hatten wir nicht, deshalb weiß ich
> nicht recht, was du damit meinst, dass alle äquivalenten
> Normen auf [mm]\IR^n[/mm] die gleiche Topologie erzeugen.
Die Topologie ist einfach die Menge der offenen Mengen. Das heißt also, dass ganz egal welche Norm man nimmt, man erhält immer die gleichen offenen Mengen.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:39 So 21.02.2010 | | Autor: | Pacapear |
Vielen Dank für eure Antworten!
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