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| Aufgabe | "Sei X eine nichtleere Menge. Definieren Sie die Funktion
d: X x[Kreuz, nicht Klein-X] X -> C [Kompl.Zahlen], d(x,y)= 0,x=y oder 1, sonst.
a) Weisen Sie nach, dass das Paar (X,d) ein metrischer Raum ist. Geben Sie die Menge U(x):={y E[Element] X :d(x,y)<Epsilon} für positive Werte Epsilon und jedes x E[Element] X an." |
Hallo, liebe Mathe-Freunde!
Ich bin noch ein ganz schöner Noob (siehe Aufgabe) und wollte fragen, ob mir jemand in Worten erklären könnte, was mit der folgenden Aufgabe gemeint ist. Vielen Dank im Voraus!
Aufgaben b) und c) lasse ich jetzt erstmal weg.
Meine Ideen:
Ich denke, dass mit den beiden Mengen X x X ein Raum aufgespannt wird, die Frage ist, ob er auf die Komplexen Zahlen abgebildet wird?! Und falls ja, wie kann man sich das räumlich vorstellen?
d(x,y) ist der Abstand zwischen allen Paaren, der entweder 0 ist (dann ist x=y) oder 1, wenn x nicht =y ist. Mir schwebt so ein Metallgitterwürfel vor Augen bei dem die Abstände zwischen den Streben immer 1 beträgt.
Gänzlich aufgeschmissen bin ich mit dem Paar (X,d)[=(Menge, Abstand)?]. Ist das eine Angabe für den metrischen Raum?
Es wäre nett, wenn Ihr mir helfen könntet! Danke nochmal!
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=508621
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:12 Sa 08.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> "Sei X eine nichtleere Menge. Definieren Sie die Funktion
>
> d: X x[Kreuz, nicht Klein-X] X -> C [Kompl.Zahlen], d(x,y)=
> 0,x=y oder 1, sonst.
>
> a) Weisen Sie nach, dass das Paar (X,d) ein metrischer Raum
> ist. Geben Sie die Menge U(x):={y E[Element] X
> :d(x,y)<Epsilon} für positive Werte Epsilon und jedes x
> E[Element] X an."
> Hallo, liebe Mathe-Freunde!
>
> Ich bin noch ein ganz schöner Noob (siehe Aufgabe) und
> wollte fragen, ob mir jemand in Worten erklären könnte,
> was mit der folgenden Aufgabe gemeint ist. Vielen Dank im
> Voraus!
>
> Aufgaben b) und c) lasse ich jetzt erstmal weg.
>
> Meine Ideen:
> Ich denke, dass mit den beiden Mengen X x X ein Raum
> aufgespannt wird,
es ist $X [mm] \times X=\{(x,y):\;\;x \in X \text{ und }y \in X\}\,.$
[/mm]
Mach's mal beispielhaft für die Menge [mm] $X=\IR\,.$ [/mm] Was wäre dann $X [mm] \times [/mm] X$?
> die Frage ist, ob er auf die Komplexen
> Zahlen abgebildet wird?! Und falls ja, wie kann man sich
> das räumlich vorstellen?
Na, wenn Du einen Punkt $x [mm] \in [/mm] X$ hast und dann einen anderen Punkt
$y [mm] \in X\,,$ [/mm] dann ist der Sinn einer Metrik $d: X [mm] \times [/mm] X [mm] \to \IC\,,$ [/mm] einfach
"auf eine sinnvolle Art und Weise" (Metrikaxiome!) 'den Abstand zwischen
[mm] $x\,$ [/mm] und [mm] $y\,$ [/mm] zu messen'. Und man bewertet dies quasi, indem eine
Funktion den Wert des Abstand "an der Stelle $(x,y) [mm] \in [/mm] X [mm] \times [/mm] X$"
'berechnet'.
Und wenn Du Dir das hier mal genau anguckst: Es ist zwar toll, dass der
Autor $d: X [mm] \times [/mm] X [mm] \to \IC$ [/mm] schreibt, aber nach Definition von [mm] $d\,$ [/mm] gilt
doch sowieso $d(X [mm] \times X)=\{0,1\} \subseteq [0,\infty)\;\;\;\;\;(\subseteq \IR)\,.$
[/mm]
> d(x,y) ist der Abstand zwischen allen Paaren,
Nein, der "Abstand zwischen $x [mm] \in [/mm] X$ und $y [mm] \in [/mm] Y$ ist [mm] $d(x,y)\,$ [/mm] (was
man besser erstmal als [mm] $d((x,y))\,$ [/mm] schreiben sollte)".
> der entweder
> 0 ist (dann ist x=y) oder 1, wenn x nicht =y ist. Mir
> schwebt so ein Metallgitterwürfel vor Augen bei dem die
> Abstände zwischen den Streben immer 1 beträgt.
>
> Gänzlich aufgeschmissen bin ich mit dem Paar
> (X,d)[=(Menge, Abstand)?]. Ist das eine Angabe für den
> metrischen Raum?
Ist [mm] $X\,$ [/mm] eine nichtleere Menge und $d: X [mm] \times [/mm] X [mm] \to \IR$ [/mm] eine Abbildung,
so heißt das Paar [mm] $(X,d)\,$ [/mm] genau dann metrischer Raum, wenn [mm] "$d\,$ [/mm] eine
Metrik auf [mm] $X\,$ [/mm] ist", d.h. es müssen gelten:
1. $d(X [mm] \times [/mm] X) [mm] \subseteq [0,\infty)$
[/mm]
2. $d(x,y)=0 [mm] \Rightarrow [/mm] x=y$
3. $d(x,z) [mm] \le [/mm] d(x,y)+d(y,z)$
(jeweils für alle $x,y,z [mm] \in X\,.$)
[/mm]
> Es wäre nett, wenn Ihr mir helfen könntet! Danke nochmal!
Rechne nun erstmal diese Metrikaxiome nach. Zu 1. steht ja hier schon
was, und 2. ist auch trivial:
Seien $x,y [mm] \in X\,.$
[/mm]
1. Fall: Sei hier [mm] $x=y\,,$ [/mm] so ist [mm] $d(x,y)=0\,.$ [/mm] Aus [mm] $x=y\,$ [/mm] folgt aber
[mm] $y=x\,,$ [/mm] also ist auch [mm] $d(y,x)=0\,.$ [/mm] Hier gilt also
[mm] $$d(x,y)=0=d(y,x)\,$$
[/mm]
und damit [mm] $d(x,y)=d(y,x)\,.$
[/mm]
2. Fall: Sei nun $x [mm] \not=y\,.$ [/mm] Dann ist [mm] $d(x,y)=1\,.$ [/mm] Wegen $x [mm] \not=y \Rightarrow [/mm] y [mm] \not=x$
[/mm]
folgt auch [mm] $d(y,x)=1\,.$ [/mm] Daraus folgt
$$d(x,y)=1=d(y,x)$$
und damit [mm] $d(x,y)=d(y,x)\,.$
[/mm]
Für alle $(x,y) [mm] \in [/mm] X [mm] \times [/mm] X$ gilt aber [mm] $x=y\,$ [/mm] oder eben $x [mm] \not=y\,,$ [/mm] also
haben wir gezeigt: Für alle $x,y [mm] \in [/mm] X$ gilt [mm] $d(x,y)=d(y,x)\,.$
[/mm]
Versuchst Du Dich nun mal an dem Beweis für die Dreiecksungleichung?
Und nebenbei, falls es Dich interessiert: Obiges [mm] $d\,$ [/mm] heißt "diskrete
Metrik" (auf [mm] $X\,$).
[/mm]
Und nur mal generell ein paar Anmerkungen:
Man nennt ja für eine Menge $X [mm] \not=\emptyset$ [/mm] das Paar $(X,d)$
metrischen Raum, wenn [mm] $d\,$ [/mm] "eine Metrik auf [mm] $X\,$" [/mm] ist.
Diese Sprechweise kann verwirrend sein: Denn der Definitionsbereich von
[mm] $d\,$ [/mm] ist ja nicht [mm] $X\,,$ [/mm] sondern eben $X [mm] \times X\,$:
[/mm]
$$d: X [mm] \times [/mm] X [mm] \to [0,\infty)$$
[/mm]
könnte man auch direkt fordern, wenn man die Bedingung 1. von oben
noch anders mitverpacken wollte.
Warum macht das Sinn?
Zum einen kennt man solche Sprechweisen ja schon - siehe etwa
"Äquivalenzrelationen" - zum anderen macht es auch im Alltag Sinn:
Wenn wir etwa den Abstand zwischen den Zahlen $3 [mm] \in \IR$ [/mm] und $7 [mm] \in \IR$
[/mm]
berechnen wollen, dann rechnen wir direkt: [mm] $|7-3|=4\,.$
[/mm]
Was aber ein wenig "kuriös" ('gewöhnungsbedürftig') erscheint, ist
folgendes: Wir sagen ja: "Okay, [mm] $\IR$ [/mm] ist eindimensional."
Um Abstände zwischen zwei Zahlen aus [mm] $\IR$ [/mm] zu berechnen, wird eine
Funktion auf [mm] $\IR^2$ [/mm] definiert - wobei [mm] $\IR^2$ [/mm] ja offenbar
zweidimensional ist.
Ich denke, dass das eben der Fakt ist, der viele Leute verwirrt. Aber
machen wir das mal beispielhaft:
Wir betrachten [mm] $(\IR,abst)\,,$ [/mm] wobei $abst: [mm] \IR \times \IR \to \IR$
[/mm]
definiert werde wie folgt:
$$abst(u,v):=abst((u,v)):=|u-v| [mm] \text{ für alle }(u,v) \in \IR^2\,.$$
[/mm]
Dann ist [mm] $abst\,$ [/mm] "die anschauliche Abstandsfunktion - sie misst den
'anschaulichen Abstand' zwischen zwei reellen Zahlen" - d.h. [mm] $abst\,$ [/mm]
"misst die 'anschauliche Länge' der Strecke zwischen den reellen Zahlen
[mm] $u\,$ [/mm] und [mm] $v\,$ [/mm] der Zahlengerade".
Warum ist [mm] $abst\,$ [/mm] eine Metrik? Nunja: [mm] $|.|\,$ [/mm] nimmt nur Werte [mm] $\ge [/mm] 0$ an,
also gilt 1.
Weiter gilt [mm] $|u-v|=|-(v-u)|=|v-u|\,,$ [/mm] also gilt 2., und zudem gilt für den
Betrag bekanntlich die Dreiecksungleichung, woraus folgt
$$|u-w| [mm] \le [/mm] |u-v|+|v-w|$$
also folgt 3..
Aber vielleicht hilft Dir folgendes tatsächlich mehr, wenn wir uns angucken,
was [mm] $abst\,$ [/mm] macht:
Wir wollen den Abstand zwischen den Zahlen [mm] $3\,$ [/mm] und [mm] $7\,$ [/mm] berechnen:
Berechnen wir also den Abstand zwischen
$3 [mm] \in \IR$ [/mm] und $7 [mm] \in \IR$
[/mm]
Dazu schreiben wir $3,7 [mm] \in \IR$ [/mm] in ein Zweitupel (Paar) zusammen:
$$(3,7) [mm] \in \IR^2\,$$
[/mm]
und nun werfen wir die "Abstandsberechnungsfunktion" drauf los:
[mm] $$abst((3,7))=abst(3,7)\,,$$
[/mm]
und nach Definition von [mm] $abst\,$ [/mm] folgt nun
[mm] $$abst(3,7)=|3-7|=|-4|=4\,.$$
[/mm]
Wie prüft man nun, ob der Abstand zwischen 3 und 7 der gleiche ist wie
der Abstand zwischen 7 und 3? (Wenn man diesen Satz liest, denkt man
eh: "und" ist doch kommutativ, was muss ich da eigentlich rechnen? Aber
das folgende wäre zu rechnen, wenn man strikt per Definitionem vorgeht:)
Nun, wir schreiben nun die Zahlen [mm] $7\,$ [/mm] und [mm] $3\,$ [/mm] in ein Zweitupel:
$(7,3) [mm] \in \IR^2$ [/mm] (man beachte auch $(7,3) [mm] \not=(3,7)$).
[/mm]
Jetzt lassen wir [mm] $abst\,$ [/mm] auf $(7,3)$ los:
[mm] $$abst((7,3))=abst(7,3)=|7-3|=|4|=4\,.$$
[/mm]
Und siehe da: [mm] $abst(3,7)=abst(7,3)\;\;\;\;(=4)\,.$
[/mm]
Kurz und allgemein(er) gesagt: Ist [mm] $(X,d)\,$ [/mm] ein metrischer Raum, d.h.
$d: X [mm] \times [/mm] X [mm] \to \IR$ [/mm] ist eine Metrik (auf [mm] $X\,$) [/mm] (nicht notwendig die
obige, also nicht notwendig die diskrete Metrik), so besagt die
Formulierung (im Folgenden $x,y [mm] \in [/mm] X$)
"Der mit der Abstandsfunktion [mm] $d\,$ [/mm] gemessene Abstand zwischen [mm] $x\,$ [/mm]
und [mm] $y\,$ [/mm] ist der gleiche wie der mit [mm] $d\,$ [/mm] gemessene Abstand zwischen
[mm] $y\,$ [/mm] und [mm] $x\,$"
[/mm]
nichts anderes als: Es gilt [mm] $d(x,y)=d(y,x)\,.$ [/mm] (Bzw. genauer: Es gilt
[mm] $d(\;(x,y)\;)=d(\;(y,x)\;)\,.$)
[/mm]
P.S. Mache bei der Menge [mm] $U(x)\,$ [/mm] eine Fallunterscheidung: [mm] $\varepsilon \ge [/mm] 1$
oder $0 < [mm] \varepsilon [/mm] < [mm] 1\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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