Metrischen Raum zeigen < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:51 So 30.06.2013 | | Autor: | Belleci |
| Aufgabe | Sei [mm] (X,d_X) [/mm] ein metrischer Raum.
Zeigen Sie, dass durch [mm] d_{X \times X}((x_1,x_2),(y_1,y_2))=d_X(x_1,y_1)+d_X(x_2,y_2) [/mm] eine Metrik auf [mm] X\times [/mm] X definiert ist und dass die Abbildung [mm] X\times X\to \mathbb{R}, (x,y)\mapsto d_X(x,y) [/mm] stetig ist bezüglicher dieser Metrik. |
Hallöchen,
Ich weiß, dass ich die Eigenschaften zeigen soll, das ist normalerweise auch kein Problem, aber hier bin ich mir unsicher, was ich genau zeigen soll. Also z.B. muss man ja zeigen d(x,y)=0 [mm] \gdw [/mm] x=y. Wie ist das hier? Muss ich zeigen [mm] d_{X\times X}((x_1,x_2),(y_1,y_2))=0 \gdw x_1=y_1 [/mm] oder [mm] x_1=x_2?? [/mm] Bei der Symmetrie ist genau das gleiche Problem. Und bei der Dreiecksungleichung weiß ich nicht genau, wie die hier aussehen muss, also was für einen Term ich einbringen muss.
Kann mir bitte einer auf die Sprünge helfen?
Danke
Ich habe diese Frage in keinen anderen Foren gestellt.
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Hallo Belleci,
> Sei [mm](X,d_X)[/mm] ein metrischer Raum.
> Zeigen Sie, dass durch [mm]d_{X \times X}((x_1,x_2),(y_1,y_2))=d_X(x_1,y_1)+d_X(x_2,y_2)[/mm]
> eine Metrik auf [mm]X\times[/mm] X definiert ist und dass die
> Abbildung [mm]X\times X\to \mathbb{R}, (x,y)\mapsto d_X(x,y)[/mm]
> stetig ist bezüglicher dieser Metrik.
> Hallöchen,
>
> Ich weiß, dass ich die Eigenschaften zeigen soll, das ist
> normalerweise auch kein Problem, aber hier bin ich mir
> unsicher, was ich genau zeigen soll. Also z.B. muss man ja
> zeigen d(x,y)=0 [mm]\gdw[/mm] x=y. Wie ist das hier? Muss ich zeigen
> [mm]d_{X\times X}((x_1,x_2),(y_1,y_2))=0 \gdw x_1=y_1[/mm] oder
> [mm]x_1=x_2??[/mm]
Hier hast du doch Tupel, also zu zeigen
[mm] $d_{X\times X}((x_1,x_2),(y_1,y_2))=0 [/mm] \ [mm] \gdw [/mm] \ [mm] (x_1,x_2)=(y_1,y_2)$
[/mm]
Und das bedeutet komponentenweise Gleichheit, also [mm] $x_1=y_1$ [/mm] und [mm] $x_2=y_2$
[/mm]
> Bei der Symmetrie ist genau das gleiche Problem.
Einfach mal hinschreiben gem. Definition.
Zu zeigen ist
[mm] $d_{X\times X}((x_1,x_2),(y_1,y_2))=d_{X\times X}((y_1,y_2),(x_1,x_2))$
[/mm]
> Und bei der Dreiecksungleichung weiß ich nicht genau, wie
> die hier aussehen muss, also was für einen Term ich
> einbringen muss.
Kriegst du das nun hin?
>
> Kann mir bitte einer auf die Sprünge helfen?
Im Wesentlichen musst du nur nutzen, dass [mm] $d_X$ [/mm] eine Metrik ist ...
>
> Danke
>
>
>
>
>
> Ich habe diese Frage in keinen anderen Foren gestellt.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 So 30.06.2013 | | Autor: | Belleci |
Hallo schachuzipus,
danke für deine Antwort.
> > Und bei der Dreiecksungleichung weiß ich nicht genau, wie
> > die hier aussehen muss, also was für einen Term ich
> > einbringen muss.
>
> Kriegst du das nun hin?
Bei der Dreiecksungleichung bin ich mir leider immer noch unsicher.
[mm] d_{X\times X}=((x_1,x_2),(z_1,z_2),(y_1,y_2))=d_X((x_1,z_1),(z_2,y_2))+d_X((x_2,z_2),(z_2,y_2))
[/mm]
Stimmt das so?
Grüße Belleci
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:56 So 30.06.2013 | | Autor: | Belleci |
> [mm]d_{X\times X}=((x_1,x_2),(z_1,z_2),(y_1,y_2))=d_X((x_1,z_1),(z_2,y_2))+d_X((x_2,z_2),(z_2,y_2))[/mm]
Ich meinte hier natürlich
[mm] d_{X\times X}=((x_1,x_2),(z_1,z_2),(y_1,y_2))=d_X((x_1,z_1),(z_1,y_1))+d_X((x_2,z_2),(z_2,y_2))
[/mm]
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Hallo nochmal,
> Hallo schachuzipus,
>
> danke für deine Antwort.
>
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> > > Und bei der Dreiecksungleichung weiß ich nicht genau, wie
> > > die hier aussehen muss, also was für einen Term ich
> > > einbringen muss.
> >
> > Kriegst du das nun hin?
>
> Bei der Dreiecksungleichung bin ich mir leider immer noch
> unsicher.
> [mm]d_{X\times X}=((x_1,x_2),(z_1,z_2),(y_1,y_2))=d_X((x_1,z_1),(z_2,y_2))+d_X((x_2,z_2),(z_2,y_2))[/mm]
>
> Stimmt das so?
Nee, du hast ja linkerhand 3 Argumente ...
zu zeigen ist:
[mm]d_{X\times X}((x_1,x_2),(y_1,y_2)) \ \le \ d_{X\times X}((x_1,x_2),(z_1,z_2))+d_{X\times X}((z_1,z_2),(y_1,y_2))[/mm]
für beliebige [mm](x_1,x_2),(y_1,y_2),(z_1,z_2)\in X\times X[/mm]
Das kannst du zeigen, indem du stur die Definition von [mm]d_{X\times X}[/mm] einsetzt und ausnutzt, dass [mm]d_X[/mm] eine Metrik ist, für die ja die 3 Eigenschaften gelten ...
>
> Grüße Belleci
Ahoi!
schachuzipus
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