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Metrischer Raum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:09 So 04.12.2005
Autor: Franzie

Guten Abend alle zusammen!
Hab mal ne Frage zu folgender Ausgabe:
Für x,y und eine injektive Funktion [mm] f:\IR \to \IR [/mm] sei
d1:= [mm] \wurzel{ | x^{2} - y^{2} |} [/mm] und ich soll untersuchen, ob es sich bei [mm] (\IR [/mm] , d1) um einen metrischen Raum handelt. Also die ersten 2 Eigenschaften eines metrischen Raumes zu zeigen, also
1) x=y [mm] \gdw [/mm] d(x,y)=0  und
2) d(x,y)=d(y,x) ist eigentlich klar, aber ich hänge bei der Dreiecksungleichung, wo ich zeigen muss
d(x,y)  [mm] \le [/mm] d(x,z) + d(z,y). Ich weiß jetzt nicht genau, wie ich ein z wählen muss. Hab noch andere solche Beispiele, wäre lieb, wenn es mir jemand an diesem hier erläutern könnte, damit ich die restlichen alleine hinkriege.

liebe Grüße



        
Bezug
Metrischer Raum: Minkowski'sche Ungleichung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:15 So 04.12.2005
Autor: mathmetzsch

Hallo,

deine Behauptung folgt direkt aus der Minkowski'schen Ungleichung:

[mm] d(x,y)=\wurzel{|x^{2}-y^{2}|} [/mm]                                 |Addition der 1
         [mm] =\wurzel{|x^{2}-y^{2}+z^{2}-z^{2}|} [/mm]         |Dreiecksungleichung
         [mm] \le\wurzel{|x^{2}-z^{2}|+|z^{2}-y^{2}|} [/mm]     |Minkowski
         [mm] \le\wurzel{|x^{2}-z^{2}|}+\wurzel{|z^{2}-y^{2}|} [/mm]  
         [mm] \le [/mm] d(x,z)+d(z,y)

und du bist fertig.
    
    

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