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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:21 Mo 01.05.2006 | | Autor: | Sherin |
| Aufgabe | Sei f: [mm] \IR^{2} \to \IR [/mm] definiert durch [mm] f(x,y)=\begin{cases} (x^{2} + y^{2}) sin ( \bruch{1}{x^{2}+y^{2})}, & \mbox{wenn } x^{2} + y^{2} \not= 0 \\ 0, & \mbox{wenn } x^{2} + y^{2} = 0 \end{cases}
[/mm]
Gilt dann f [mm] \in C^{1} (\IR^{2}? [/mm] |
Hallo,
ich kann mit der Aufgabenstellung irgendwie überhaupt gar nichts anfangen. Dieses [mm] C^{1} [/mm] heißt das, dass die Funktion einmal differenzierbar ist? Wenn ja, wie kann ich das überprüfen? Irgendwie komme ich noch gar nicht damit klar, dass man das mit 2 Variablen macht?
Würd mich freuen, wenn mir das jemand kurz erklären könnte!
Sherin
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Hallo sherin,
> Hallo,
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> ich kann mit der Aufgabenstellung irgendwie überhaupt gar
> nichts anfangen. Dieses [mm]C^{1}[/mm] heißt das, dass die Funktion
> einmal differenzierbar ist?
Ja. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Wenn ja, wie kann ich das
> überprüfen? Irgendwie komme ich noch gar nicht damit klar,
> dass man das mit 2 Variablen macht?
>
Überall außer im nullpunkt ist die aussage ja sowieso klar. Es kommt also nur auf den nullpunkt an. Lass doch das [mm] $y^2$ [/mm] erstmal weg und stelle dir das ganze eindimensional vor.
Der Bruch im Sinus-term geht gegen unendlich wenn (x,y) gegen null geht. das heißt, der sinus oszilliert wild hin und her. Da sein betrag aber immer kleiner-gleich 1 ist, wird er von dem [mm] $x^2+y^2$-term [/mm] gedämpft und die ganze funktion geht gegen null.
Ein kriterium, wie du diffbarkeit im mehrdimensionalen zeigen kannst, ist dass die partiellen ableitungen stetig sind. versuch es doch mal damit!
VG
Matthias
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