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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:30 Di 04.01.2005 | | Autor: | zero1 |
Hallo erstmal! und viele Grüße an alle und alles gute in das neue Jahr 2005.
ich brauche hier ein paar Vorschläge für die folgende Aufgabe: (es ist leider auf Englisch)
Let f : [mm] \IR \to \IR [/mm] be continuous.
Assume that f(x + y) = f(x) +f(y) for all x, y [mm] \in \IR. [/mm]
Show that f is linear,
more precisely, f(x) = x · f(1) for all x [mm] \in \IR.
[/mm]
Vielen Dank im voraus :)
mit eine bitte auf ein schnellen Antwort
Ps: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:25 Mi 05.01.2005 | | Autor: | andreas |
hi
was noch zu zeigen ist ist, dass [m] \forall \, \lambda \in \mathbb{R}: f(\lambda) = \lambda f(1) [/m]
nur schnell ein paar vorschläge:
zeige zuerst, dass [m] \forall \; n \in \mathbb{N} : f(n) = n f(1) [/m] und folgere analoges für [m] [mm] \mathbb{Z} [/mm] und daraus, dass [m] \forall \, q \in \mathbb{Q} : f(q) = qf(1) [/m], wobei man dabei eben ausnutzen muss, dass [m] q = \frac{a}{b} [/m] mit [m] a \in \mathbb{Z}, \; b \in \mathbb{N} [/m].
danach beutze die dichtheit von [m] \mathbb{Q} [/m] in [m] \mathbb{R} [/m], also dass es für [m] \lambda \in \mathbb{R} [/m] eine rationale folge [m] (q_n)_{n \in \mathbb{N}} [/m] gibt, so dass
[m] \lambda = \lim_{n \to \infty} q_n [/m]
dann kann man wegen der stetigkeit funktionsauswertung und grenzwert vertauschen, also
[m] f \left( \lim_{n \to \infty} q_n \right) = \lim_{n \to \infty} f(q_n) [/m]
verwende und erhält das gewünschte resultat.
hoffe das hilft erstmal. wenn du nicht weiterkommst kannst du dich melden.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:10 Mi 05.01.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Zero,
naja, vielleicht ist meine Mitteilung etwas merkwürdig, aber irgendwie habe ich den Eindruck, dass du die Aufgabe noch nicht mal übersetzt hattest; kann das sein? (Du schreibst, dass die Aufgabe leider in Englisch sei, machst dir aber nicht die Mühe, sie zu übersetzen (und das geht doch sehr schnell!)? Ich finde das etwas merkwürdig... Du solltest dir (zumindest, da du ja bestimmt mal Seminare bzw. ein Proseminar besuchen mußt) dich doch wenigstens etwas mit der Englischen (mathematischen) Sprache vertraut machen!)
> Let f : [mm]\IR \to \IR[/mm] be continuous.
> Assume that f(x + y) = f(x) +f(y) for all x, y [mm]\in \IR.[/mm]
>
> Show that f is linear,
> more precisely, f(x) = x · f(1) for all x [mm]\in \IR.
[/mm]
Das heißt übersetzt:
Sei $f:$ [mm] $\IR \to \IR$ [/mm] stetig. Angenommen, es gelte [m]f(x+y)=f(x)+f(y)[/m] für alle $x,y [mm] \in \IR$.
[/mm]
Zeigen Sie, dass f linear ist, präziser, es gilt [m]f(x)=x*f(1)[/m] für alle $x [mm] \in \IR$.
[/mm]
Wie dem auch sei: Falls Bedarf besteht:
Ein "mathematisches Wörterbuch" findest du z.B. hier:
![[]](/images/popup.gif) http://www.math.uni-goettingen.de/baule/wbuch.html
oder hier:
http://www.mathematik.uni-trier.de/~vordiplom2000/mathematisches_woerterbuch.pdf
Viele Grüße,
Marcel
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