Metrischer Raum, Konvergenz < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:00 Do 08.07.2010 | | Autor: | Lori7 |
| Aufgabe | Also ich habe den [mm] \IR^3 [/mm] gegeben und die euklidische Norm dadrauf. Für x,y [mm] \in \IR [/mm] definieren wir:
[mm] d(x,y)=\bruch{\parallel x-y \parallel }{1+ \parallel x-y \parallel} [/mm]
Jetzt habe ich schon gezeigt dass es sich um eine Metrik handelt und dasss [mm] X=(\IR^3,d) [/mm] beschränkt ist.
Die lettze Frage lautet:
Hat die Folge [mm] a_n=(n,n,n) [/mm] eine in X konvergente Teilfolge? Ist X kompakt? |
Also bei den letzten Fragen komme ich halt nicht weiter.
Für Konvergenz muss ich ja zeigen, dass es zu jedem [mm] \epsilon [/mm] >0 ein N gibt, sodass [mm] d(x_n,x)<\epsilon [/mm] für alle n >N.
Aber ich weiß ja gar nciht wogegen das konvergieren soll. Und dann auch noch Teilfolge, weiß auch nicht was ich damit anfangen soll.
Hat da jemand einen Tipp für mich?
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:46 Do 08.07.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Also ich habe den [mm]\IR^3[/mm] gegeben und die euklidische Norm
> dadrauf. Für x,y [mm]\in \IR[/mm] definieren wir:
> [mm]d(x,y)=\bruch{\parallel x-y \parallel }{1+ \parallel x-y \parallel}[/mm]
> Jetzt habe ich schon gezeigt dass es sich um eine Metrik
> handelt und dasss [mm]X=(\IR^3,d)[/mm] beschränkt ist.
> Die lettze Frage lautet:
> Hat die Folge [mm]a_n=(n,n,n)[/mm] eine in X konvergente Teilfolge?
> Ist X kompakt?
> Also bei den letzten Fragen komme ich halt nicht weiter.
> Für Konvergenz muss ich ja zeigen, dass es zu jedem
> [mm]\epsilon[/mm] >0 ein N gibt, sodass [mm]d(x_n,x)<\epsilon[/mm] für alle
> n >N.
> Aber ich weiß ja gar nciht wogegen das konvergieren soll.
> Und dann auch noch Teilfolge, weiß auch nicht was ich
> damit anfangen soll.
> Hat da jemand einen Tipp für mich?
Die beiden Fragen am Schluss hängen zusammen: X ist kompakt genau dann, wenn jede Folge eine konvergente Teilfolge hat. (Jede Folge in einem kompakten Raum hat einen Häufungspunkt.)
Wenn also die Folge [mm]a_n=(n,n,n)[/mm] keine konvergente Teilfolge hat, dann ist X nicht kompakt.
Überlege so: wenn [mm] $a_n$ [/mm] eine konvergente Teilfolge [mm] $a_{n_k}$ [/mm] hat, dann gibt es eine Zahl [mm] $c=(c_1,c_2,c_3)\in [/mm] X$, die der Grenzwert dieser Teilfolge ist. Rechne doch mal den Abstand eines beliebigen Folgenelementes zu a aus:
[mm] d(a_{n_k},c) = \dots [/mm]
Kann dieser Abstand für fast alle Folgenelemente [mm] $<\epsilon$ [/mm] sein ?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 Do 08.07.2010 | | Autor: | Lori7 |
Danke für deine Antwort. So recht bin ich aber nicht weiter gekommen, also:
Angenommen [mm] a_n [/mm] besitzt eine konvergente Teilfolge [mm] a_{n_k}, [/mm] k [mm] \in \IN [/mm] . Sei [mm] c=(c_1,c_2,c_3) [/mm] der Grenzwert dieser Folge.
[mm] d(a_{n_k},c)=\bruch{\parallel a_{n}-c \parallel}{1+ \parallel a_{n} -c \parallel}=\bruch{\wurzel{(n-c_1)^2+(n-c_2)^2+(n-c_3)^2}}{1+\wurzel{(n-c_1)^2+(n-c_2)^2+(n-c_3)^2}}=\bruch{\wurzel{3n^2-2n(c_1+c_2+c_3)+c_1^{2} +c_2^2 +c_3^2}}{1+\wurzel{3n^2-2n(c_1+c_2+c_3)+c_1^{2} +c_2^2 +c_3^2}} <\epsilon [/mm]
ich seh irgendwie nicht so ganz wo der widerspruch ist, den es anscheinend geben soll. also wenn n gegen unendlisch geht, dann gehen ja quasi nenner und zähler gegen Unendlich, oder? ach ich weiß nciht wonach ich so wirklich gucken muss.
wäre super wenn du mir das ncoh etwas erklären könntest :)
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Das erinnert doch sehr an Ana I.
Allgemein gilt doch:
[mm] \bruch{k}{1+k}=\bruch{1}{\bruch{1}{k}+1}
[/mm]
Was passierthier , wenn k [mm] \rightarrow \infty [/mm]
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:56 Fr 09.07.2010 | | Autor: | Lori7 |
Für k-> infty würde der Audruck gegen 1 gehen, aber wieso sollte die Norm von [mm] a_{n_k}-c [/mm] gegen unendlich gehen? das versteh ich leider nicht. Wenn [mm] a_{n_k} [/mm] gegen c konvergiert müsste sie doch eigentlich gegen Null gehen?
Vieel Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:59 Fr 09.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Für k-> infty würde der Audruck gegen 1 gehen, aber wieso
> sollte die Norm von [mm]a_{n_k}-c[/mm] gegen unendlich gehen? das
> versteh ich leider nicht. Wenn [mm]a_{n_k}[/mm] gegen c konvergiert
> müsste sie doch eigentlich gegen Null gehen?
> Vieel Grüße
Hast Du meine Antwort nicht gelesen ?
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:56 Fr 09.07.2010 | | Autor: | fred97 |
Setze [mm] $b_k:=||a_{n_k}-c||$. [/mm] Dann ist
[mm] $d(a_{n_k},c)= \bruch{b_k}{1+b_k}$ [/mm] und somit [mm] $b_k= \bruch{d(a_{n_k},c)}{1+d(a_{n_k},c)}$
[/mm]
Nun nimm mal an, dass [mm] $d(a_{n_k},c) \to [/mm] 0$ für k [mm] \to \infty [/mm] gelten würde. Dann wäre [mm] (b_k) [/mm] eine Nullfolge in [mm] \IR [/mm] . Kann das sein ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:01 Fr 09.07.2010 | | Autor: | Lori7 |
Hey danke für deine Antwort. Also cih seh nciht warum es keine Nullfolge sein darf. wenn [mm] a_{n_k} [/mm] gegen c konvergiert dann geht doch auch der Abstand zwischen ihnen für k -> [mm] \infty [/mm] gegen Null oder nicht? so stell ich mir das jedenfalls vor. was mach ich da falsch?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:06 Fr 09.07.2010 | | Autor: | fred97 |
Es ist doch [mm] a_{n_k}=(n_k, n_k,n_k)
[/mm]
Wenn [mm] (b_k) [/mm] eine Nullfolge wäre, so wäre [mm] (n_k) [/mm] eine streng monoton wachsende Folge natürlicher Zahlen, die gegen [mm] c_1=c_2=c_3 [/mm] konvergiert. Kann das möglich sein ?
FRED
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