Metrisierbarkeit top. Räume < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:32 Mi 29.06.2011 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich habe eine Frage zur Metrisierbarkeit topologischer Räume.
Meine Definition dafür lautet, dass ein topologischer Raum [mm] (X,\tau) [/mm] metrisierbar heißt, wenn eine Metrik d existiert, für die gilt: [mm] \tau=\tau(d), [/mm] d.h. [mm] \tau [/mm] ist gleich der von d erzeugten Topologie.
So, meine erste Frage ist, was die von d erzeugte Topologie ist? In einer vorherigen Definition wird mit [mm] \tau(d) [/mm] [das ist doch die von d erzeugte Topologie, oder?] die metrische Topologie bezeichnet, die die Menge aller offenen Teilmengen von X ist. Ist in der Defintion mit [mm] \tau(d) [/mm] genau diese Topologie gemeint?
So, dann habe ich hier ein Beispiel. Es lautet: Die diskrete Topologie ist metrisierbar durch die diskrete Metrik.
Zuerst war ich verwirrt, weil da steht "Die diskrete Topologie ist metrisierbar" . Laut Defintion dachte ich, dass nur ein topologischer Raum metrisierbar sein kann, und nicht nur eine Topologie. Ist damit einfach der topologische Raum mit in dem Fall der diskreten Topologie gemeint?
So, warum ist dieser topologische Raum denn metrisierbar durch die diskrete Metrik? Das heißt ja, dass die von der diskreten Metrik induzierte Topologie gleich der diskreten Topologie ist, oder?
Wie sieht jetzt die von der diskreten Metrik induzierte Topologie aus? Ist das einfach das von oben, die Menge aller offenen Teilmengen, wobei ich die Epsilon-Bälle der offenen Mengen hier über die diskrete Metrik definiere? Also so: [mm] K(x,\epsilon)=\{y|d(x,y)<\epsilon\}, [/mm] wobei d(x,y) die diskrete Metrik?
Aber lassen sich mit der diskreten Metrik überhaupt Epsilon-Bälle definieren? Weil für x ungleich y ist d(x,y) ja 1, und das ist ja nicht kleiner als [mm] \epsilon [/mm] wenn man [mm] \epsilon [/mm] als sehr viel kleiner als 1 annimmt.
Oder habe ich die durch die Metrik induzierte Topologie falsch verstanden?
Vielen Dank.
LG Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:29 Do 30.06.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo Nadine!
> Hallo zusammen!
>
> Ich habe eine Frage zur Metrisierbarkeit topologischer
> Räume.
>
> Meine Definition dafür lautet, dass ein topologischer Raum
> [mm](X,\tau)[/mm] metrisierbar heißt, wenn eine Metrik d existiert,
> für die gilt: [mm]\tau=\tau(d),[/mm] d.h. [mm]\tau[/mm] ist gleich der von d
> erzeugten Topologie.
>
> So, meine erste Frage ist, was die von d erzeugte Topologie
> ist? In einer vorherigen Definition wird mit [mm]\tau(d)[/mm] [das
> ist doch die von d erzeugte Topologie, oder?] die metrische
> Topologie bezeichnet, die die Menge aller offenen
> Teilmengen von X ist. Ist in der Defintion mit [mm]\tau(d)[/mm]
> genau diese Topologie gemeint?
Genau.
> So, dann habe ich hier ein Beispiel. Es lautet: Die
> diskrete Topologie ist metrisierbar durch die diskrete
> Metrik.
>
> Zuerst war ich verwirrt, weil da steht "Die diskrete
> Topologie ist metrisierbar" . Laut Defintion dachte ich,
> dass nur ein topologischer Raum metrisierbar sein kann, und
> nicht nur eine Topologie. Ist damit einfach der
> topologische Raum mit in dem Fall der diskreten Topologie
> gemeint?
Ja.
> So, warum ist dieser topologische Raum denn metrisierbar
> durch die diskrete Metrik? Das heißt ja, dass die von der
> diskreten Metrik induzierte Topologie gleich der diskreten
> Topologie ist, oder?
Richtig.
> Wie sieht jetzt die von der diskreten Metrik induzierte
> Topologie aus? Ist das einfach das von oben, die Menge
> aller offenen Teilmengen, wobei ich die Epsilon-Bälle der
> offenen Mengen hier über die diskrete Metrik definiere?
> Also so: [mm]K(x,\epsilon)=\{y|d(x,y)<\epsilon\},[/mm] wobei d(x,y)
> die diskrete Metrik?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Aber lassen sich mit der diskreten Metrik überhaupt
> Epsilon-Bälle definieren? Weil für x ungleich y ist
> d(x,y) ja 1, und das ist ja nicht kleiner als [mm]\epsilon[/mm] wenn
> man [mm]\epsilon[/mm] als sehr viel kleiner als 1 annimmt.
Wende die Definition nur konsequent an:
1. Es geht bei der von einer Metrik induzierten Topologie doch um [mm] $\varepsilon$-Bälle [/mm] mit beliebigen Werten
von [mm] $\varepsilon\in \IR$ [/mm] um beliebige Punkte x.
2. Wenn [mm] $\varepsilon<1$ [/mm] ist, dann enhält [mm] $B_\varepsilon(x)$ [/mm] nur den Punkt x, also [mm] $B_\varepsilon(x)=\{x\}$. [/mm]
3. Wenn [mm] $\varepsilon\ge [/mm] 1$ ist, dann ist [mm] $B_\varepsilon(x)$ [/mm] der gesamte Raum.
Also ist jede Menge offen, die genau einen Punkt enthält. Jetzt konstruiere daraus durch beliebige Vereinigung weitere offene Mengen.
> Oder habe ich die durch die Metrik induzierte Topologie
> falsch verstanden?
Nein, du musst nur konsequent die Folgerungen durchdenken.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:36 Mo 04.07.2011 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Rainer!
> Wende die Definition nur konsequent an:
>
> 1. Es geht bei der von einer Metrik induzierten Topologie
> doch um [mm]\varepsilon[/mm]-Bälle mit beliebigen Werten
> von [mm]\varepsilon\in \IR[/mm] um beliebige Punkte x.
>
> 2. Wenn [mm]\varepsilon<1[/mm] ist, dann enhält [mm]B_\varepsilon(x)[/mm]
> nur den Punkt x, also [mm]B_\varepsilon(x)=\{x\}[/mm].
>
> 3. Wenn [mm]\varepsilon\ge 1[/mm] ist, dann ist [mm]B_\varepsilon(x)[/mm] der
> gesamte Raum.
Ok, bis hier hin ist es klar.
> Also ist jede Menge offen, die genau einen Punkt enthält.
Hmm, das versteh ich nicht so ganz. Wieso ist jede Menge offen, die genau einen Punkt enthält? Offen heißt doch, dass ich um jeden Punkt der Menge einen Epsilonball finde, der immer noch in der Menge liegt. Aber wenn ich um x einen Epsilonball lege, dann ragt er doch aus der Menge, die nur x enthält raus, oder nicht?
> Jetzt konstruiere daraus durch beliebige Vereinigung
> weitere offene Mengen.
So erhalte ich die Topologie, die von der diskreten Metrik induziert wird, indem ich alle Möglichen Vereinigungen bilde?
Und wie vergleiche ich nun, ob die von der diskreten Metrik induzierte Topologie gleich der diskreten Topologie ist? Die haben doch beide beliebig viele Mengen, wie kann man das vergleichen?
Vielen Dank.
LG Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:06 Mo 04.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Rainer!
>
> > Wende die Definition nur konsequent an:
> >
> > 1. Es geht bei der von einer Metrik induzierten Topologie
> > doch um [mm]\varepsilon[/mm]-Bälle mit beliebigen Werten
> > von [mm]\varepsilon\in \IR[/mm] um beliebige Punkte x.
> >
> > 2. Wenn [mm]\varepsilon<1[/mm] ist, dann enhält [mm]B_\varepsilon(x)[/mm]
> > nur den Punkt x, also [mm]B_\varepsilon(x)=\{x\}[/mm].
> >
> > 3. Wenn [mm]\varepsilon\ge 1[/mm] ist, dann ist [mm]B_\varepsilon(x)[/mm] der
> > gesamte Raum.
>
> Ok, bis hier hin ist es klar.
>
> > Also ist jede Menge offen, die genau einen Punkt enthält.
>
> Hmm, das versteh ich nicht so ganz. Wieso ist jede Menge
> offen, die genau einen Punkt enthält? Offen heißt doch,
> dass ich um jeden Punkt der Menge einen Epsilonball finde,
> der immer noch in der Menge liegt. Aber wenn ich um x einen
> Epsilonball lege, dann ragt er doch aus der Menge, die nur
> x enthält raus, oder nicht?
1. Sei d die diskrete Metrik.
Sei M:={ x }
Dann ist z.B. [mm] B_{1/2}(x)=\{y: d(x,y)<1/2 \}= \{x\}$. [/mm] Damit ist [mm] B_{1/2}(x) \subseteq [/mm] M.
M ist also offen.
Es folgt: jede Teilmenge des metrischen Raumes (X,d) ist offen
2. Ein topologischer Raum ist genau dann diskret, wenn für jeden Punkt x die Menge {x} offen ist
Nun kombiniere 1. und 2.
FRED
>
> > Jetzt konstruiere daraus durch beliebige Vereinigung
> > weitere offene Mengen.
>
> So erhalte ich die Topologie, die von der diskreten Metrik
> induziert wird, indem ich alle Möglichen Vereinigungen
> bilde?
>
> Und wie vergleiche ich nun, ob die von der diskreten Metrik
> induzierte Topologie gleich der diskreten Topologie ist?
> Die haben doch beide beliebig viele Mengen, wie kann man
> das vergleichen?
>
> Vielen Dank.
>
> LG Nadine
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:34 Mi 06.07.2011 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
> 1. Sei d die diskrete Metrik.
>
> Sei M:={ x }
>
> Dann ist z.B. [mm]B_{1/2}(x)=\{y: d(x,y)<1/2 \}= \{x\}$.[/mm] Damit
> ist [mm]B_{1/2}(x) \subseteq[/mm] M.
>
> M ist also offen.
>
> Es folgt: jede Teilmenge des metrischen Raumes (X,d) ist
> offen
Ok, das hab ich jetzt verstanden.
So, dann habe ich jetzt die von der diskreten Metrik induzierte Topologie: die Menge aller offenen Teilmengen, wobei ich die Epsilon-Bälle der offenen Mengen über die diskrete Metrik definiere.
Und nun muss ich ja gucken, ob diese Topologie gleich der diskreten Topologie ist.
Hmm, die diskrete Topologie ist ja auch die Menge aller offenen Teilmengen. Aber woher weiß ich, dass es in beiden Fällen die gleichen offenen Teilmengen sind?
> 2. Ein topologischer Raum ist genau dann diskret, wenn für
> jeden Punkt x die Menge {x} offen ist
>
> Nun kombiniere 1. und 2.
Ist ein diskreter topologischer Raum das gleiche wie ein topologischer Raum mit diskreter Topologie?
Vielen Dank.
LG Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:02 Do 07.07.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo Nadine!
> Hallo!
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>
>
> > 1. Sei d die diskrete Metrik.
> >
> > Sei M:={ x }
> >
> > Dann ist z.B. [mm]B_{1/2}(x)=\{y: d(x,y)<1/2 \}= \{x\}$.[/mm] Damit
> > ist [mm]B_{1/2}(x) \subseteq[/mm] M.
> >
> > M ist also offen.
> >
> > Es folgt: jede Teilmenge des metrischen Raumes (X,d) ist
> > offen
>
> Ok, das hab ich jetzt verstanden.
>
>
> So, dann habe ich jetzt die von der diskreten Metrik
> induzierte Topologie: die Menge aller offenen Teilmengen,
> wobei ich die Epsilon-Bälle der offenen Mengen über die
> diskrete Metrik definiere.
Das schon, aber der entscheidende Punkt ist, dass jede Teilmenge offen ist, d.h. die Menge aller offenen Teilmengen (die von der diskreten Metrik induzierte Topologie) ist gleich der Menge aller Teilmengen.
> Und nun muss ich ja gucken, ob diese Topologie gleich der
> diskreten Topologie ist.
>
> Hmm, die diskrete Topologie ist ja auch die Menge aller
> offenen Teilmengen.
Nein, jede Topologie ist die Menge aller offenen Teilmenge; das ist die Definition des Begriffes "Topologie".
> Aber woher weiß ich, dass es in beiden
> Fällen die gleichen offenen Teilmengen sind?
Weil du (a) weisst, dass die von der diskreten Metrik induzierte Topologie gleich der Menge aller Teilmengen ist,
und du (b) weisst, dass die diskrete Topologie gleich der Menge aller Teilmengen ist.
> Ist ein diskreter topologischer Raum das gleiche wie ein
> topologischer Raum mit diskreter Topologie?
Ja.
Viele Grüße
Rainer
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