MinPolynom einer Matrix < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:30 Di 12.05.2009 | | Autor: | ZodiacXP |
| Aufgabe | Berechne Min-Polynom von
$ [mm] \pmat{0 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0} \in [/mm] M(3 [mm] \times [/mm] 3, [mm] \mathbb{Q}) [/mm] $ |
Bisschen geguckt, rumprobiert und dachte mir vielleicht ist das das Min-Polynom:
$P(A) = [mm] A^4 [/mm] - 2 [mm] \cdot [/mm] A$
Scheint auch zu passen aber durch raten macht man das bestimmt nicht.
Gibt es da ein System? Einen Algorithmus?
|
|
| |
|
> Berechne Min-Polynom von
> [mm]\pmat{0 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0} \in M(3 \times 3, \mathbb{Q})[/mm]
>
> Bisschen geguckt, rumprobiert und dachte mir vielleicht ist
> das das Min-Polynom:
>
> [mm]P(A) = A^4 - 2 \cdot A[/mm]
>
> Scheint auch zu passen aber durch raten macht man das
> bestimmt nicht.
> Gibt es da ein System? Einen Algorithmus?
Hallo,
das, was Du da gefunden hast, ist sicher nicht das Minimalpolynom.
Weißt Du denn, wie das Minimalpolynom einer Matrix definiert ist?
Zum Finden des Minimalpolynoms: das Minimalpolynom ist ein Teiler des charakteristischen Polynoms, welcher sämtliche Nullstellen mit dem charakteristischen Polynom gemeinsam hat - möglicherweise in kleinerer Vielfachheit.
Der Weg zum Minimalpolynom führt also bei gezielter Suche über das charakteristische Polynom.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:13 Di 12.05.2009 | | Autor: | ZodiacXP |
Ok. E sei Einheitsmatrix.
$ [mm] p_A [/mm] = det(A - [mm] \lambda [/mm] E) = [mm] \vmat{ -\lambda & 0 & 2 \\ 1 & -\lambda & 0 \\ 0 & 1 & -\lambda } [/mm] = [mm] \vmat{ 0 & - \lambda^2 & 2 \\ 1 & -\lambda & 0 \\ 0 & 1 & -\lambda } [/mm] = - [mm] \vmat{ 1 & -\lambda & 0 \\ 0 & - \lambda^2 & 2 \\ 0 & 1 & -\lambda } [/mm] = - [mm] \vmat{1} \cdot \vmat{- \lambda^2 & 2 \\ 1 & -\lambda} [/mm] = 2 - [mm] \lambda^3 [/mm] $
Teiler? Sehe keine. Gibt keine weiteren Nullstellen außer [mm] ($\wurzel[3]{2}$)
[/mm]
Bleibt also bei $ 2 - [mm] \lambda^3 [/mm] $.
Hui. Ich liebe es. Mathe / LinA ist stumpf.
Jetz habe ich nur noch Probleme damit:
Ist das ein Problem, dass die Nullstellen [mm] ($\wurzel[3]{2}$) [/mm] außerhalb von [mm] $\mathbb{Q}$ [/mm] sind?
Und soll man die 2 ansehen als 2*E? (Weil $ 2*E - [mm] A^3 [/mm] = 0 $)
|
|
|
| |
|
Hallo ZodiacXP,
> Ok. E sei Einheitsmatrix.
>
> [mm]p_A = det(A - \lambda E) = \vmat{ -\lambda & 0 & 2 \\ 1 & -\lambda & 0 \\ 0 & 1 & -\lambda } = \vmat{ 0 & - \lambda^2 & 2 \\ 1 & -\lambda & 0 \\ 0 & 1 & -\lambda } = - \vmat{ 1 & -\lambda & 0 \\ 0 & - \lambda^2 & 2 \\ 0 & 1 & -\lambda } = - \vmat{1} \cdot \vmat{- \lambda^2 & 2 \\ 1 & -\lambda} = 2 - \lambda^3[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Teiler? Sehe keine.
Na, echt nicht? Ich sehe einen ...
Es teilt sich ja selber!
> Gibt keine weiteren Nullstellen außer
> ([mm]\wurzel[3]{2}[/mm])
>
> Bleibt also bei [mm]2 - \lambda^3 [/mm].
> Hui. Ich liebe es. Mathe /
> LinA ist stumpf.
>
> Jetz habe ich nur noch Probleme damit:
>
> Ist das ein Problem, dass die Nullstellen ([mm]\wurzel[3]{2}[/mm])
> außerhalb von [mm]\mathbb{Q}[/mm] sind?
Eben, dass charakt. Polynom hat über [mm] $\IQ$ [/mm] keine NST(en), damit auch keinen echten Teiler, damit ist MinPol=charPol
>
> Und soll man die 2 ansehen als 2*E? (Weil [mm]2*E - A^3 = 0 [/mm])
Ja, $A$ ist immer NST des MinPol
LG
schachuzipus
|
|
|
|
