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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:13 So 08.02.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo, ich scheine etwas zu bekloppt zu sein
Gegeben ist das gleichschenklige Dreieck A(-1/0), B(1/0) und C(0/2).
Der Punkt P liege auf der y-Achse und nicht ausserhalb des Dreiecks
Wie muss P gewählt werden, damit die Summe der Abstände von P zu den drei Punkten A, B, C minimal ist? Für welchen Punkt P ist die Summe maximal
P(0/k)
[mm] \overrightarrow{PA} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ -k}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{PB} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -k}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{PC} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 2-k}
[/mm]
Nun ermittle ich die Summe: [mm] \overline{PA} [/mm] + [mm] \overline{PB} [/mm] + [mm] \overline{PC}
[/mm]
f(x)= [mm] \wurzel{1 + k^{2}} [/mm] + [mm] \wurzel{1 + k^{2}} [/mm] + 2-k
f'(x) = [mm] \bruch{k}{\wurzel{1 +k^{2}}} [/mm] + [mm] \bruch{k}{\wurzel{1 +k^{2}}} [/mm] -1
0 = [mm] \bruch{k}{\wurzel{1 +k^{2}}} [/mm] + [mm] \bruch{k}{\wurzel{1 +k^{2}}} [/mm] -1
0 = 2k - [mm] \wurzel{1 +k^{2}}
[/mm]
2k = [mm] \wurzel{1 +k^{2}} [/mm] quadriere (muss aber dann überprüft werden)
1 + [mm] k^{2} [/mm] = [mm] 4k^{2}
[/mm]
1 = [mm] 3k^{2}
[/mm]
k = [mm] \pm \wurzel{\bruch{1}{3}}
[/mm]
Nun stimmt es hinten und vorne soweit nicht....
Wäre echt froh um Hilfestellungen
Danke
Gruss Dinker
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:28 So 08.02.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo, ich scheine etwas zu bekloppt zu sein
>
>
> Gegeben ist das gleichschenklige Dreieck A(-1/0), B(1/0)
> und C(0/2).
> Der Punkt P liege auf der y-Achse und nicht ausserhalb des
> Dreiecks
> Wie muss P gewählt werden, damit die Summe der Abstände
> von P zu den drei Punkten A, B, C minimal ist? Für welchen
> Punkt P ist die Summe maximal
>
> P(0/k)
> [mm]\overrightarrow{PA}[/mm] = [mm]\vektor{-1 \\ -k}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{PB}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ -k}[/mm]
> [mm]\overrightarrow{PC}[/mm]
> = [mm]\vektor{0 \\ 2-k}[/mm]
>
> Nun ermittle ich die Summe: [mm]\overline{PA}[/mm] + [mm]\overline{PB}[/mm]
> + [mm]\overline{PC}[/mm]
>
> f(x)= [mm]\wurzel{1 + k^{2}}[/mm] + [mm]\wurzel{1 + k^{2}}[/mm] + 2-k
> f'(x) = [mm]\bruch{k}{\wurzel{1 +k^{2}}}[/mm] +
> [mm]\bruch{k}{\wurzel{1 +k^{2}}}[/mm] -1
> 0 = [mm]\bruch{k}{\wurzel{1 +k^{2}}}[/mm] + [mm]\bruch{k}{\wurzel{1 +k^{2}}}[/mm]
> -1
> 0 = 2k - [mm]\wurzel{1 +k^{2}}[/mm]
> 2k = [mm]\wurzel{1 +k^{2}}[/mm]
> quadriere (muss aber dann überprüft werden)
> 1 + [mm]k^{2}[/mm] = [mm]4k^{2}[/mm]
> 1 = [mm]3k^{2}[/mm]
> k = [mm]\pm \wurzel{\bruch{1}{3}}[/mm]
> Nun stimmt es hinten und
> vorne soweit nicht....
Wieso denn nicht? Durch das Quadrieren entsteht lediglich noch eine zweite Scheinlösung. Du weißt ja aber, dass dein k positiv ist, damit entfällt die negative Lösung.
[mm] \wurzel{3} [/mm] liegt zwischen 1,7 und 1,8.
Überzeuge dich doch einmal durch Nachrechnen, dass für [mm] k=\wurzel{3} [/mm] die Summe der drei Abstände kleiner ist als für k=1,7 oder k=1,8.
Gruß Abakus
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> Wäre echt froh um Hilfestellungen
> Danke
> Gruss Dinker
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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