Min (X, Y) schätzen < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:20 So 30.08.2009 | | Autor: | cantor |
Hallo!
ich hab nur ein Halb-Wissen was Testen und Schätzen angeht, daher folgende Frage:
Ich habe zwei Zufallsvariablen X und Y, deren Verteilung von einem Parametervektor [mm] $\beta$ [/mm] abhängt. beta ist unbekannt, es gibt aber eine Schätzung für [mm] $\beta$. [/mm] (kommt aus einem Regressionsmodell).
Jetzt interessiere ich mich für die Zufallsvariable min(X, Y). die hypothetische Verteilung kann ich natürlich aus den Verteilungen von X und Y berechnen. Ich möchte aber die Verteilung schätzen, wie macht man sowas? Setze ich dann einfach die Schätzung für [mm] $\beta$ [/mm] ein und das war's? Oder gibt's da noch was intelligenteres?
Speziell interessiert mich der Erwartungswert von min (x, Y)
Vielen Dank für Eure Antworten,
cantor
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> Hallo!
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> ich hab nur ein Halb-Wissen was Testen und Schätzen
> angeht, daher folgende Frage:
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> Ich habe zwei Zufallsvariablen X und Y, deren Verteilung
> von einem Parametervektor [mm]\beta[/mm] abhängt. beta ist
> unbekannt, es gibt aber eine Schätzung für [mm]\beta[/mm]. (kommt
> aus einem Regressionsmodell).
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> Jetzt interessiere ich mich für die Zufallsvariable min(X, Y).
> Die hypothetische Verteilung kann ich natürlich aus
> den Verteilungen von X und Y berechnen. Ich möchte aber
> die Verteilung schätzen, wie macht man sowas? Setze ich
> dann einfach die Schätzung für [mm]\beta[/mm] ein und das war's?
> Oder gibt's da noch was intelligenteres?
>
> Speziell interessiert mich der Erwartungswert von min (X,Y)
>
> Vielen Dank für Eure Antworten,
>
> cantor
Hallo cantor,
um da etwas Gültiges aussagen zu können, müsste
man Genaueres über die Zufallsvariablen X und Y
wissen. Welche Art von Verteilung, welche Erwartungs-
werte und Streuungsparameter ? Wenn du behauptest,
du könnest die Verteilung von min(X,Y) aus den Vertei-
lungen von X und Y berechnen, müsstest du die ja klar
angeben können.
LG
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:45 So 30.08.2009 | | Autor: | cantor |
Hallo!
danke für deine Antwort. Ich versuche das ganze möglichst allgemein zu halten, wenn also eine allgemeine Aussage möglich ist, würde ich am liebsten diese verwenden. Falls nicht, dann beschreibe ich jetzt das Problem etwas genauer:
Ich habe ein Regressionsmodell, sagen wir linear $y = X * [mm] \beta [/mm] + [mm] \varepsilon$ [/mm] mit [mm] $\varepsilon$ [/mm] normalverteilt mit Varianz [mm] $\sigma^2$. [/mm] (Falls man irgendeine der Annahmen allgemeiner halten kann wäre gut, aber für diesen Fall wäre eine Aussage auch schonmal gut.)
Jetzt möchte ich mir die Variablen [mm] $Y_1 [/mm] = [mm] X_1 [/mm] * [mm] \beta$ [/mm] und [mm] $Y_2 [/mm] = [mm] X_2 [/mm] * [mm] \beta$ [/mm] ansehen. [mm] $Y_1$ [/mm] und [mm] $Y_2$ [/mm] sollen also quasi Prognosen für y für konkrete [mm] $X_1$ [/mm] und [mm] $X_2$ [/mm] darstellen.
Mich interessiert besonders das Minimum der beiden, also die Variable [mm] min(Y_1,Y_2). [/mm] Die Verteilung von [mm] $Y_1$ [/mm] und [mm] $Y_2$ [/mm] ergibt sich ja direkt aus dem Regressionsmodell, richtig? Sprich normalverteilt mit Mittelwert [mm] $X_1 [/mm] * [mm] \beta$ [/mm] und Varianz [mm] $\sigma^2$.
[/mm]
Jetzt gibt es ja eine allgemeine Formel für das Minimum von zwei Zufallsvariablen, die weiß ich allerdings nicht mehr genau und kann sie grade nicht finden. vermutlich gilt die auch nur für zwei gleichverteilte ZV, ein weiteres problem. aber egal, irgendwie kann man die Verteilung ja berechnen, notfalls würde mir da auch eine numerische lösung reichen.
aber wenn ich diese dichte dann habe ist das ja nur die theoretische dichte. Kann ich denn eine "geschätzte" Dichte angeben? Naja da werde ich dann wohl einfach für den Parameter [mm] $\beta$ [/mm] meinen schätzer für [mm] $\beta$, [/mm] also z. B. den KQ Schätzer einsetzen müssen, oder?
Am wichtigsten ist mir eine gute Schätzung für den Erwartungswert der Variablen $min ( [mm] Y_1, Y_2)$ [/mm] zu bekommen.
Vielen Dank!!
und Grüße
cantor
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> Hallo!
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> danke für deine Antwort. Ich versuche das ganze möglichst
> allgemein zu halten, wenn also eine allgemeine Aussage
> möglich ist, würde ich am liebsten diese verwenden. Falls
> nicht, dann beschreibe ich jetzt das Problem etwas
> genauer:
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> Ich habe ein Regressionsmodell, sagen wir linear [mm]y = X * \beta + \varepsilon[/mm]
> mit [mm]\varepsilon[/mm] normalverteilt mit Varianz [mm]\sigma^2[/mm]. (Falls
> man irgendeine der Annahmen allgemeiner halten kann wäre
> gut, aber für diesen Fall wäre eine Aussage auch schonmal
> gut.)
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> Jetzt möchte ich mir die Variablen [mm]Y_1 = X_1 * \beta[/mm] und
> [mm]Y_2 = X_2 * \beta[/mm] ansehen. [mm]Y_1[/mm] und [mm]Y_2[/mm] sollen also quasi
> Prognosen für y für konkrete [mm]X_1[/mm] und [mm]X_2[/mm] darstellen.
>
> Mich interessiert besonders das Minimum der beiden, also
> die Variable [mm]min(Y_1,Y_2).[/mm] Die Verteilung von [mm]Y_1[/mm] und [mm]Y_2[/mm]
> ergibt sich ja direkt aus dem Regressionsmodell, richtig?
> Sprich normalverteilt mit Mittelwert [mm]X_1 * \beta[/mm] und
> Varianz [mm]\sigma^2[/mm].
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> Jetzt gibt es ja eine allgemeine Formel für das Minimum
> von zwei Zufallsvariablen, die weiß ich allerdings nicht
> mehr genau und kann sie grade nicht finden. vermutlich gilt
> die auch nur für zwei gleichverteilte ZV, ein weiteres
> problem. aber egal, irgendwie kann man die Verteilung ja
> berechnen, notfalls würde mir da auch eine numerische
> lösung reichen.
>
> aber wenn ich diese dichte dann habe ist das ja nur die
> theoretische dichte. Kann ich denn eine "geschätzte"
> Dichte angeben? Naja da werde ich dann wohl einfach für
> den Parameter [mm]\beta[/mm] meinen schätzer für [mm]\beta[/mm], also z. B.
> den KQ Schätzer einsetzen müssen, oder?
>
> Am wichtigsten ist mir eine gute Schätzung für den
> Erwartungswert der Variablen [mm]min ( Y_1, Y_2)[/mm] zu bekommen.
>
> Vielen Dank!!
>
> und Grüße
> cantor
Hallo,
leider verstehe ich immer noch nicht die genaue Anlage.
Wären zum Beispiel X eine normalverteilte Zufallsvariable
mit Mittelwert [mm] \mu_X [/mm] und Standardabweichung [mm] \sigma_X [/mm] und analog
Y eine normalverteilte Zufallsvariable mit Mittelwert [mm] \mu_Y [/mm]
und Standardabweichung [mm] \sigma_Y [/mm] , dann könnte ich möglicherweise
weiter helfen. Da du aber noch zusätzlich von einem Re-
gressionsmodell sprichst, zweifle ich irgendwie, ob ich dein
wirkliches Problem verstanden habe.
Vielleicht sieht da jemand anderes besser durch ...
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:50 Mo 31.08.2009 | | Autor: | steffenhst |
Hallo,
wenn ich deine Situation richtig verstehe, dann hast du also zwei Zufallsvariablen [mm] Y_1 [/mm] = [mm] \beta X_1 [/mm] + [mm] \epsilon_1 [/mm] und [mm] Y_2 [/mm] = [mm] \beta X_2 [/mm] + [mm] \epsilon_2 [/mm] und du willst einen Schätzer für den Erwartungswert von Z = [mm] min(Y_1, Y_2)?
[/mm]
M.E. ist die Lösung ganz einfach, weil der Schätzer für den Erwartungswert verteilungsfrei hergeleitet wird (Vorraussetzung ist, dass die Stichprobe identisch verteilt ist). Der Schätzer für den Erwartungswert ist ja der Mittelwert der Stichprobe also gilt für E(Z) = [mm] \mu [/mm] => [mm] \mu' [/mm] = [mm] \bruch{\summe_{i=1}^{n} Z_i(x)}{n}. [/mm] Die [mm] Z_i [/mm] ist dabei deine n-Stichprobe, wobei jedes [mm] Z_i [/mm] identisch verteilt ist. Da nun [mm] Z_i [/mm] = [mm] min(Y_{1i},Y_{2i}) [/mm] sieht man (ich lasse das durch n jetzt mal weg):
[mm] \summe_{i=1}^{n} Z_i(x) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} min(Y_{1i},Y_{2i}) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} min(\beta X_{1i} [/mm] + [mm] \epsilon_{1i}, \beta X_{2i} [/mm] + [mm] \epsilon_{2i})
[/mm]
da nun [mm] \beta [/mm] selbst erwartungstreu und konsistent geschätzt werden kann, müsste das für den Erwartungswert von Z dann auch gelten. Insbesondere gilt, dass wenn die Stichprobenrealisationen von [mm] Y_1 [/mm] in der Stichprobe immer kleiner als [mm] Y_2 [/mm] sind, dann ist E(Z) = [mm] \beta E(X_1) [/mm] (bzw. umgekehrt, wenn [mm] Y_2 [/mm] immer echt kleiner als [mm] Y_1).
[/mm]
Hast du sowas gemeint?
Grüße, Steffen
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