Min max bestimmen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie
a) [mm] \min_{y aus [0,1]} (\max_{x aus [0,1]} (x^{2}-xy+y^{2})) [/mm] |
Hallo,
man muss doch hier die Funktion nach x ableiten und die Nullstelle bestimmen oder? D.h. man bekommt folgendes raus:
f(x)= [mm] x^{2}-xy+y^{2}
[/mm]
f'(x)= 2x-y
2x-y=0 <=> 2x=y <=> x= y/2
In die fkt einsetzen:
f(y/2)= [mm] (y/2)^{2}-y/2 [/mm] y + [mm] y^{2}= [/mm] 3/4 [mm] y^{2} [/mm]
So, muss man nun die Randpunkte betrachten oder wie mache ich jetzt weiter?
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:06 Di 20.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie
> a) [mm]\min_{y aus [0,1]} (\max_{x aus [0,1]} (x^{2}-xy+y^{2}))[/mm]
>
> Hallo,
>
> man muss doch hier die Funktion nach x ableiten und die
> Nullstelle bestimmen oder? D.h. man bekommt folgendes
> raus:
> f(x)= [mm]x^{2}-xy+y^{2}[/mm]
> f'(x)= 2x-y
>
> 2x-y=0 <=> 2x=y <=> x= y/2
> In die fkt einsetzen:
> f(y/2)= [mm](y/2)^{2}-y/2[/mm] y + [mm]y^{2}=[/mm] 3/4 [mm]y^{2}[/mm]
> So, muss man nun die Randpunkte betrachten oder wie mache
> ich jetzt weiter?
>
> Gruß
Für y [mm] \in [/mm] [0,1] betrachte (wie Du das gemacht hast) [mm] f_y(x):=x^2-xy+y^2 [/mm] (x [mm] \in [/mm] [0,1])
Gezeigt hast Du: der Scheitel der Parabel [mm] f_y [/mm] ist [mm] (\bruch{y}{2}| \bruch{3}{4}y^2)
[/mm]
Die Parabel ist nach oben geöffnet, also ist
$ [mm] \max_{x \in [0,1]}f_y(x)= \max \{f_y(0),f_y(1) \}= \max \{y^2, 1-y+y^2 \}.$
[/mm]
Nun ist [mm] 1-y+y^2 \ge y^2 [/mm] (warum ? ), also:
$ [mm] \max_{x \in [0,1]}f_y(x) [/mm] = [mm] 1-y+y^2.$
[/mm]
Setze also [mm] g(y)=1-y+y^2 [/mm] . Bestimmen musst Du also noch
[mm] \min_{y \in [0,1]}g(y)
[/mm]
Zur Kontrolle: [mm] $\min_{y \in [0,1]}g(y) =\bruch{3}{4}$
[/mm]
FRED
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Hallo,
wo muss ich das denn jetzt genau einsetzen, damit ich 3/4 bekomme?
Lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:42 Di 20.05.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> wo muss ich das denn jetzt genau einsetzen, damit ich 3/4 bekomme?
Daran scheiterst du? Komisch. Zu berechnen ist
[mm] \min_{y \in [0,1]}g(y),
[/mm]
wobei
[mm] g(y):=1-y+y^2.
[/mm]
Es gilt:
[mm] g'(y)\overset{!}{=}0
[/mm]
[mm] \Rightarrow y=\frac{1}{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow g(\frac{1}{2})=\frac{3}{4}.
[/mm]
Die weitere Argumentation überlasse ich dir. 
Gruß
DieAcht
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Hi,
heißt das dann, dass 3/4 das Maximum ist oder was habe ich dann da raus?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:57 Di 20.05.2014 | | Autor: | DieAcht |
> heißt das dann, dass 3/4 das Maximum ist oder was habe ich dann da raus?
Nein. Das ist das Minimum (Wieso?).
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Ach so, weil wir ja oben schon den Scheitel von der Parabel ausgerechnet hatten, d.h. Es gibt kein Maximum oder? 3/4 ist dann das Minimum.richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:04 Di 20.05.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Ach so, weil wir ja oben schon den Scheitel von der Parabel
> ausgerechnet hatten, d.h. Es gibt kein Maximum oder? 3/4
> ist dann das Minimum.richtig?
Ja, denn die Parabel ist nach oben geöffnet.
Alternativ kannst du auch mit
$g''(y)=2>0$
argumentieren. Randpunkte noch und alles gut.
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Ich habe genau die gleiche Aufgabe nur mit min und max vertauscht. Muss ich dann dort die erste Ableitung nach y machen? Und was ändert sich dann eigentlich? Habe ich dann nicht einfach eine Parabel, die dann nach unten geöffnet ist mit dem Maximum dann 3/4?
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:42 Mi 21.05.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Ich habe genau die gleiche Aufgabe nur mit min und max vertauscht.
Das fällt dir erst jetzt auf? Aus dieser Aussage können wir
weiterhin nicht entnehmen was du genau meinst. Möglichkeiten:
[mm] \max_{x\in[0,1]}\left(\min_{y\in[0,1]}x^2-xy+y^2\right)
[/mm]
und
[mm] \max_{y\in[0,1]}\left(\min_{x\in[0,1]}x^2-xy+y^2\right).
[/mm]
> Muss ich dann dort die erste Ableitung nach y
> machen? Und was ändert sich dann eigentlich? Habe ich dann
> nicht einfach eine Parabel, die dann nach unten geöffnet
> ist mit dem Maximum dann 3/4?
Deine Fragen implizieren, dass du den Lösungsweg nicht ver-
standen hast. Was hast du genau nicht verstanden? Ich kann
dir deine obigen Fragen nicht beantworten, denn es kommt
darauf an was du mit obiges meinst. Wenn du den anderen Lö-
sungsweg verstanden hast, dann sollte das nun kein Problem
sein.
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Hi,
ich glaube, ich konnte mich nicht genau ausdrücken. Also, das was wir jetzt erarbeitet haben ist die Teilaufgabe a). Nun gibt es auch eine Teilaufgabe b), bei der sind min und max andersrum aufgeschrieben. Meine Frage war nun, wenn ich das analog mache, ob ich dann eine Parabel mit einer Öffnung nach unten bekomme?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:03 Mi 21.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
>
> ich glaube, ich konnte mich nicht genau ausdrücken. Also,
> das was wir jetzt erarbeitet haben ist die Teilaufgabe a).
> Nun gibt es auch eine Teilaufgabe b), bei der sind min und
> max andersrum aufgeschrieben. Meine Frage war nun, wenn ich
> das analog mache, ob ich dann eine Parabel mit einer
> Öffnung nach unten bekomme?
nein. Aber warum probierst Du das nicht einfach aus ???
FRED
>
> Gruß
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Ok, also
[mm] f(y)=x^{2}-xy+y^{2}
[/mm]
f'(y)=-x+2y
-x+2y=0 -> y= x/2
[mm] f(x/2)=x^{2}+x*x/2+(x/2)^{2}= x^{2}+x^{2}/2+x^{2}/4=3/4x^{2} [/mm]
Stimmt das bis jetzt?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:17 Mi 21.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ok, also
> [mm]f(y)=x^{2}-xy+y^{2}[/mm]
> f'(y)=-x+2y
>
> -x+2y=0 -> y= x/2
> [mm]f(x/2)=x^{2}+x*x/2+(x/2)^{2}= x^{2}+x^{2}/2+x^{2}/4=3/4x^{2}[/mm]
> Stimmt das bis jetzt?
Ja
FRED
>
> Gruß
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Ok, weiter:
Für x aus [0,1] betrachte [mm] f_{x}= x^2-xy+y^{2}
[/mm]
Es ist min y aus [0,1] fx(y)= [mm] min{f_{x}(0),f_{x}(1)}= min{y^2, 1-y+y^2}
[/mm]
So?
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:36 Mi 21.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ok, weiter:
> Für x aus [0,1] betrachte [mm]f_{x}= x^2-xy+y^{2}[/mm]
> Es ist min
> y aus [0,1] fx(y)= [mm]min{f_{x}(0),f_{x}(1)}= min{y^2, 1-y+y^2}[/mm]
>
> So?
Nein, ganz und gar nicht ! Du schreibst ab, ohne zu denken !!
Für x [mm] \in [/mm] [0,1] war [mm] f_x(y):=x^2-xy+y^{2}, [/mm] eine nach oben geöffnete Parabel.
Den Scheitel hast Du doch richtig berechnet: [mm] (\bruch{1}{2}x [/mm] | [mm] \bruch{3}{4}x^2).
[/mm]
Also ist
$ [mm] \min_{y \in [0,1]}f_x(y)=\bruch{3}{4}x^2. [/mm] $
Jetzt berechne noch:
$ [mm] \max_{x \in [0,1]}\bruch{3}{4}x^2. [/mm] $
FRED
>
> Gruß
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Hi,
ich habe nicht ganz verstanden wie man auf g'(y)=0 kommt?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:24 Mi 21.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
>
> ich habe nicht ganz verstanden wie man auf g'(y)=0 kommt?
Was ist den nun plötzlich g ???
FRED
>
> Gruß
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Von der Teilaufgabe a) noch, da hatte mir DieAcht gesagt, dass g(y)= [mm] 1-y+y^{2} [/mm] ist und daraus folgt, dass g'(y)=0 ist.
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:34 Mi 21.05.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Von der Teilaufgabe a) noch, da hatte mir DieAcht gesagt,
> dass g(y)= [mm]1-y+y^{2}[/mm] ist und daraus folgt, dass g'(y)=0
> ist.
Das ist das notwendige Kriterium für ein relatives Extremum.
Diese Aussage von mir war übrigens meine erste Antwort in
diesem Thread und du fragst er jetzt danach? Fred hat dir mal
wieder fast alles vorgerechnet. Zu bestimmen ist
[mm] \max_{x \in [0,1]}\bruch{3}{4}x^2.
[/mm]
Von mir aus setzen wir auch hier
[mm] g(x):=\frac{3}{4}x^2
[/mm]
und betrachten
[mm] \max_{x \in [0,1]}g(x).
[/mm]
Jetzt wieder du.
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Ach stimmt, tut mir Leid. Also wir haben dann [mm] 1-x+x^{2} [/mm] und müssen [mm] 1-x+x^{2} [/mm] >= [mm] x^{2} [/mm]
Wir müssen also [mm] x^{2} [/mm] betrachten.
g(x)= [mm] x^{2} [/mm]
g'(x)= 2x -> x=0
g(0)=0
max g(x)=0 -> maximum
So?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:05 Mi 21.05.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Ach stimmt, tut mir Leid. Also wir haben dann [mm]1-x+x^{2}[/mm] und
> müssen [mm]1-x+x^{2}[/mm] >= [mm]x^{2}[/mm]
Das stimmt nicht. Betrachte dafür zum Beispiel
[mm] x:=\frac{1}{2}.
[/mm]
> Wir müssen also [mm]x^{2}[/mm] betrachten.
> g(x)= [mm]x^{2}[/mm]
> g'(x)= 2x -> x=0
> g(0)=0
> max g(x)=0 -> maximum
> So?
Was machst du hier? Du bist bereits viel weiter. Es folgt
aus dem Scheitelpunkt
[mm] S\left(\frac{1}{2}x\mid\frac{3}{4}x^2\right)
[/mm]
sofort
[mm] \min_{y \in [0,1]}f_x(y)=\bruch{3}{4}x^2.
[/mm]
Der Scheitelpunkt einer Parabel in der Analysis ist identisch
mit dem Hochpunkt (lokales Maximum), wenn sie nach unten ge-
öffnet ist, und identisch mit dem Tiefpunkt (lokales Minimum),
wenn die Parabel nach oben geöffnet ist.
Aus diesem Grund benötigen wir nur noch
[mm] \max_{x \in [0,1]}g(x)=\max_{x \in [0,1]}\bruch{3}{4}x^2.
[/mm]
Es gilt:
[mm] g'(x)=\frac{3}{2}x\overset{!}{=}0
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] x=0$,
aber offensichtlich ist das nicht das Maximum und das können
wir auch mit
[mm] g''(x)=\frac{3}{2}>0
[/mm]
begründen. Was machen wir jetzt? Das habe ich dir auch schon
weiter oben geschrieben.
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Muss ich nicht das mAximum davon betrachten?
Also max 3/4 [mm] x^{2}?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:34 Mi 21.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Muss ich nicht das mAximum davon betrachten?
> Also max 3/4 [mm]x^{2}?[/mm]
Ja, davon reden wir doch die ganze Zeit ! Zeichne mal den Graphen von x [mm] \to \bruch{3}{4}x^2 [/mm] im Intervall [0,1]
FRED
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Ja, das ist doch eine nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitel im Nullpunkt.was muss ich denn jetzt noch machen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:43 Mi 21.05.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Ja, das ist doch eine nach oben geöffnete Parabel mit dem
> Scheitel im Nullpunkt.was muss ich denn jetzt noch machen?
Das Maximum bestimmen!
edit: Nur das Intervall [mm] $[0,1]\$ [/mm] betrachten!
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Ja, das hatte ich dich grade aufgeschrieben.also das Maximum von [mm] 3/4x^{2}. [/mm] Das heißt, dass das Maximum davon x=0 und daraus g(0)=0 ist???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:57 Mi 21.05.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Ja, das hatte ich dich grade aufgeschrieben.also das
> Maximum von [mm]3/4x^{2}.[/mm] Das heißt, dass das Maximum davon
> x=0 und daraus g(0)=0 ist???
Das ist aber KEIN Maximum, sondern ein Minimum, denn es gilt:
[mm] g''(x)=\frac{3}{2}
[/mm]
und damit offensichtlich auch
$g''(0)>0$.
Betrachte also nun die Randpunkte!
Alternativ kannst du doch mit Sicherheit das Maximum sofort
hinschreiben (Fred's Tipp).
Entweder dir fehlen sehr viele Grundlagen oder du bist viel
zu ungeduldig oder du stellst dich ziemlich blöd an.
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Ich habe es ein bisschen eilig, weil ich die Aufgabe gleich abgeben muss.
Die Parabel hat doch kein Maximum, ich verstehe nicht, was ich da ausrechnen muss?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:22 Mi 21.05.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Ich habe es ein bisschen eilig, weil ich die Aufgabe gleich
> abgeben muss.
Okay.
> Die Parabel hat doch kein Maximum, ich verstehe nicht, was
> ich da ausrechnen muss?
Es geht doch um
[mm] g(x):=\frac{3}{4}x^2
[/mm]
auf dem Intervall
[mm] $I:=[0,1]\$.
[/mm]
Wir haben dir zwei Möglichkeiten gegeben. Bei der ersten
Möglichkeit hilft uns die Ableitung nicht, denn wir er-
halten das Minimum, aber wir müssen uns dennoch den Rand
des Definitionsbereich angucken (Wieso?) und erhalten
[mm] \max_{x \in I}g(x)=\max\{g(0),g(1)\}=g(1)=\frac{3}{4}.
[/mm]
Das kannst du dir aber auch sofort überlegen. Dazu betrachte
den Graphen nur auf dem Intervall $I$.
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Die Parabel ist doch auf dem Intervall stetig. Aber ich glaube es reicht, wenn ich das Ganze so aufschreibe.
Vielen Dank für eure Mühe.
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:29 Mi 21.05.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Die Parabel ist doch auf dem Intervall stetig. Aber ich
> glaube es reicht, wenn ich das Ganze so aufschreibe.
Du kannst auch mit der Monotonie auf $I$ argumentieren, denn es gilt:
[mm] $g'(x)=\frac{3}{2}x\ge [/mm] 0$ für alle [mm] $x\in [/mm] I$
[mm] \Rightarrow\max_{x \in I}g(x)=g(1),
[/mm]
aber damit schießt du auch mit Kanonen auf Spatzen. 
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:31 Mi 21.05.2014 | | Autor: | xxela89xx |
Ok, vielen lieben Dank und freundliche Grüße!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:14 Mi 21.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ach stimmt, tut mir Leid. Also wir haben dann [mm]1-x+x^{2}[/mm] und
> müssen [mm]1-x+x^{2}[/mm] >= [mm]x^{2}[/mm]
> Wir müssen also [mm]x^{2}[/mm] betrachten.
> g(x)= [mm]x^{2}[/mm]
> g'(x)= 2x -> x=0
> g(0)=0
> max g(x)=0 -> maximum
> So?
nein. Du schreibst ohne Sinn und Verstand aus meiner Lösung zu a) ab
Du solltest doch in der Lage sein, dass Maximum von [mm] \bruch{3}{4}x^2 [/mm] auf [0,1] zu bestimmen, und zwar ohne jede Rechnung !
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:10 Mi 21.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Von der Teilaufgabe a) noch, da hatte mir DieAcht gesagt,
> dass g(y)= [mm]1-y+y^{2}[/mm] ist und daraus folgt, dass g'(y)=0
> ist.
Aha ! Vielleicht liegts an meinem Alter. Zunächst war von Aufgabe a) die Rede, dann von b) und dann wieder von a) . Und das alles in einem Thread und ohne ,dass einem das gesagt wird.
FRED
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> Gruß
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