Minima/Maxima Nebenbedingun < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:34 Sa 23.06.2007 | | Autor: | myo |
| Aufgabe | Aufgabe 1
Wie muss man eine quaderförmige, oben offene Schachtel konstruieren,
so dass sie ein Volumen von 1l besitzt und ihre Oberfläche möglichst
klein wird?
Aufgabe 2
Wir befinden uns in einem kulturell aufstrebendem Ort mit den Ortsteilen
Alzheim (500 Einwohner), Böfingen (300 Einwohner), Chinatown
(50 Einwohner), Donaubad (170 Einwohner) und Eselsberg (80 Einwohner).
Vereinfachend dürfen wir annehmen, dass alle Ortsteile jeweils in
einem Punkt konzentriert sind. Alzheim im Punkt (1, 1) , Böfingen in
(6, 0) , Chinatown in (0, 2) , Donaubad in (−1, 1) und Eselsberg in
(−6, 11) . Zur Stärkung seiner kulturellen Leuchtturmposition in der
Region beschliesst unser Ort, eine gemeinsame Zentralbibliothek für
alle Ortsteile zu errichten. Sie soll zentral gelegen sein in dem Sinne,
dass die Summe der Quadrate der Wege der einzelnen Einwohner minimal
ist. |
Hi,
irgendwie ist mir das mit der Nebenbedingung noch nicht so ganz klar, oder wie man dann dabei vorgehen muss. Ich bechreib einfach mal mein Problem bei den Aufgaben. Vermutlich dürfte mir ein Tipp schon reichen damit es endlich klickt macht.
Aufgabe 1
Also als [mm]f[/mm] hab ich folgendes nun:
[mm]f(x,y,z) = xy+2xz+2yz[/mm]
Das ist ja die Mantelfläche vom Quader plus dessen Boden (quaderförmige oben offene Schachtel). Von dieser Funktion möchte ich nun ja wissen wo sie in Abhängigkeit der Nebenbedingung maximal ist, oder?
Als Nebenbedingung habe ich folgendes:
[mm]g(x,y,z) = xyz-1[/mm]
Das ist ja das Volumen eines Quaders. Und das Volumen muss ja genau 1 Liter sein. Mit den Einheiten muss ich dann später noch schauen, zum Schluss müsste ich ja dann x,y,z (die Längen der Kanten) in Meter haben.
Wie geh ich da nun genau vor?
Normalerweise macht man das doch mit der Lagrange Multiplikatorregel [mm]L = f-{\lambdag}[/mm] oder?
Das würde hier ja dann so aussehen:
[mm]L(x,y,z,{\lambda}) = xy+2xz+2yz-xyz{\lambda}-{\lambda}[/mm]
Dann die ersten partiellen Ableitungen:
[mm]L_x = y+2z-{\lambda}yz[/mm]
[mm]L_y = x+2z-{\lambda}xz[/mm]
[mm]L_z = 2x+2y-{\lambda}xy[/mm]
[mm]L_\lambda = -xyz+1[/mm]
Nun hab ich [mm]L_x = 0[/mm] nach [mm]y[/mm] aufgelöst und das ist dann:
[mm]\bruch{-2z}{1-{\lambda}z}[/mm]
Dann [mm]L_y = 0[/mm] nach [mm]x[/mm] aufgelöst und das ist dann:
[mm]\bruch{-2z}{1-{\lambda}z}[/mm]
Also ist [mm]x = y[/mm]
Das hab ich dann in [mm]L_z = 0[/mm] eingesetzt und angefangen zu rechnen
Bin dann auf [mm]\bruch{-8z+8{\lambda}z^2-4{\lambda}z^2}{1-2{\lambda}z+{\lambda}^2z^2}[/mm] gekommen.. Wie kann ich das denn schön nach einer Varibalen auflösen oder was mache ich wenn ich das soweit habe? Wieder wo einsetzen oder was?
Kann man das in dem Fall aber nicht z.B. so schöner lösen?
Die Nebenbedingung umformen nach [mm]x = \bruch{1}{yz}[/mm] und das dann in [mm]f(x,y,z)[/mm] einsetzen zu [mm]f(y,z) = \bruch{1}{z}+\bruch{2}{y}+2yz[/mm]
Dann die ersten Ableitungen berechnen:
[mm]f_z = \bruch{-1}{z^2}+2y[/mm]
[mm]f_y = \bruch{-2}{y^2}+2z[/mm]
Dann [mm]f_z = 0[/mm] auflösen [mm]y = \bruch{1}{2z^2}[/mm]
Einsetzen in [mm]f_y = 0[/mm] ergibt dann [mm]f_y = \bruch{1}{4}z^2+2z[/mm]
Und somit ergibt sich für [mm]z = 0, z = -8[/mm] und für [mm]y = 0, y = \bruch{1}{128}[/mm]
Und als gesamte Punkte dann [mm]\left[ \begin {array}{c} 0\\\noalign{\medskip}0\\\noalign{\medskip}0
\end {array} \right], \left[ \begin {array}{c} -16\\\noalign{\medskip}\bruch{1}{128}\\\noalign{\medskip}
-8\end {array} \right][/mm]
Nun kann ich ja die beiden Punkte [mm]\left[ \begin {array}{c} 0\\\noalign{\medskip}0\end {array} \right], \left[ \begin {array}{c} \bruch{1}{128}\\\noalign{\medskip}-8\end {array} \right][/mm] die nur von x und y abhängen in die Hessematrix der zweiten Ableitungen von [mm]f(y,z)[/mm] einsetzen und dann schauen ob die Matrix negativ oder positiv definit, also sprich Minima oder Maxima.. Ist das dann auch zugleich Minima/Maxima für [mm]f(x,y,z)[/mm] wenn ich x,y,z habe und nicht nur z und y?
Wenn ich dann dort mein Maxima ermittelt hab kenne ich ja nun die Längen der Kanten für den Quader und bin somit fertig oder?
Geht das ganze nun so oder hab ich irgendwo nen groben Denkfehler drin oder kann mir dazu jemand einen Tipp geben wie das schön geht?
Aufgabe 2
Die Aufgabe ist ja auch was mit Nebenbedingung wenn ich nicht falsch liege, aber hier scheiter ich schon am Verständnis oder eben schon daran meine Funktionen so zu basteln das ich das gegebene umsetzen kann.
Der Weg von einem Punkt zu einem anderen lässt sich ja mit Hilfe von Pythagoras wie folgt berechnen denke ich mir:
[mm]weg := \wurzel{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}[/mm]
Und die Summe der Quadrate der Wege der einzelnen Bewohnern währe dann ja sowas:
[mm]\summe_{i=1}^{n}(weg)^2[/mm]
Wobei [mm]n = Anzahl der Einwohner in einem Dorf[/mm] ist.
Nur was ist nun hierbei meine Hauptbedingung welche minimal sein muss und was meine Nebenbedingung, oder gibt es das hierbei garnicht so recht? Wie löse ich denn das nun genau oder wie soll das funktionieren? Ich habe ja nun bisher nur die Summe der Quadrate der einzelnen Wege der Einwohner eines Dorfes und benötige ja den Mittelpunkt der Punkte in Abhängigkeit der Einwohneranzahl der Dörfer wenn ich das richtig verstehe.
Ich habe diese Frage in keinem anderem Forum oder anderen Seiten im Internet gestellt/gepostet
Gruß
myo
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Hallo myo,
zu Aufgabe 1 kann ich was sagen.
Der Weg über den Lagrange Multiplikator ist O. K. , abgesehen von den Vorzeichen der Hilfsfunktion, bis zu den ersten partiellen Ableitungen.
[mm]L_{(x,y,z,\lambda)}= x*y + 2*x*z+2*y*z+\lambda*(x*y*z-1)[/mm]
Danach, so sagt zumindest mein Mathebuch, ist der Lagrange Multiplikator so früh wie möglich zu eliminieren, da ihm keine weitere Bedeutung zukommt. D. h. auflösen der partiellen Ableitungen nach [mm] \lambda:
[/mm]
[mm]\lambda = -\bruch{y+2*z}{y*z}= -\bruch{1}{z}-\bruch{2}{y}[/mm]
[mm]\lambda = -\bruch{x+2*z}{x*z}= -\bruch{1}{z}-\bruch{2}{x}[/mm]
[mm]\lambda = -\bruch{2*x+2*y}{x*y}= -\bruch{2}{y}-\bruch{2}{x}[/mm]
Aus den ersten zwei Gleichungen folgt x = y.
Mit der 3. Gleichung zusammen ergibt sich [mm]x = y = 2*z[/mm], also z = [mm] \bruch{x}{2}.
[/mm]
Aus [mm]x*y*z = 1dm^{3}[/mm] wird z. B.
[mm]\bruch{1}{2}*x^{3}= 1 dm^{3}[/mm] also
[mm]x=y= \wurzel[3]{2dm^{3}}= 12,5992 cm[/mm]
z = 6,2996 cm.
LG, Martinius
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(Frage) überfällig | | Datum: | 17:12 So 24.06.2007 | | Autor: | myo |
wieso passen denn die Vorzeichen der Hilfsfunktion nicht? Oder besser gesagt wieso ist der Lagrange-Multiplikator [mm]L(x,y,z,{\lambda}) = f+{\lambda}g[/mm]?. Im Skript und wo ich das sonst so gesehen hab steht immer [mm]L = f-{\lambda}g[/mm] und wird das dann auch so zusammengesetzt mit dem "[mm]-[/mm]".
Sonst den Rest kann ich nun schon sehen/nachvollziehen, Danke für die Hilfe.
Kann mir vielleicht noch jemand einen Tipp zur zweiten Aufgabe geben? Bei der weiss ich garnicht so recht wie überhaupt ansetzen/anfangen mit den gegebenen Fakten.
Gruß
myo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:52 So 24.06.2007 | | Autor: | Martinius |
Hallo myo,
in meinem Buch wird die Nebenbedingung halt addiert. Ich vermute mal, es ist egal ob der Lagrangemultiplikator positiv oder negativ gewählt wird. Halte dich ruhig an dein Skript.
Zu Aufgabe 2 kann ich leider nichts sagen.
LG, Martinius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Di 26.06.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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