Minimalabstand von 2 Graphen < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:43 Di 12.02.2008 | | Autor: | uarte |
| Aufgabe | Gesucht ist dasjenige Punktepaar auf zwei Graphen mit minimalem Abstand; beide Graphen besitzen keine gemeinsamen Punkte.
Untersucht werden sollen die Graphen der Funktionen
a) [mm] (x-4)^2 [/mm] - 2 und
b) [mm] -(x+3)^2 [/mm] - 1 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Zur Lösung wurde zum Einen versucht, einen Punkt auf einem Graphen laufen zu lassen (also eine Parametergeschichte) und von diesem aus ein Bündel (wieder Parameter) Geraden laufen zu lassen. Dann Schnittpunkt mit dem anderen Graphen, Pythagoras, Differenzieren.
Das erscheint aber als ein sehr umständlicher Weg zu sein.
Zum Zweiten könnte (ähnlich wie Lösungsansatz oben) eine Normalgeradenschar auf einem Graphen den anderen schneiden.
Beide Ansätze sind mir suspekt nach dem Motto "es muß doch auch einfacher gehen".
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:00 Di 12.02.2008 | | Autor: | ZodiacXP |
Ich schreibe eine Mitteilung, da ich mir nicht genau sicher bin. (Studiere nicht und hab sowas nie gerechnet aber eine Idee):
Was wenn man aus der Differenz der beiden Funktionen eine neue Funktion macht und dessen Extrempunkt bestimmt?
Darauf komme ich weil man so an den naheliegensten x-Wert kommt. Wie sich das dann mit y verhält weis ich nicht genau. Schnittpunkte wären in der neuen Funktion Nullpunkte.
Geht das evtl so?
Mfg
ZodiacXP
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Damit würdest du aber nur den senkrechten Abstand der Graphen prüfen; es geht aber auch um Punkte, die vielleicht nicht "übereinander" liegen.
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Hallo, zunächst mal die folgende Skizze, Skizzen sind immer 49% der Lösung:
[Dateianhang nicht öffentlich]
jetzt ist die Strecke [mm] \overline{AB} [/mm] zu minimieren
[mm] \overline{AB}=\wurzel{(x_B-x_A)^{2}+(f(x_B)-f(x_A))^{2}}
[/mm]
jetzt überlege dir noch, die Strecke [mm] \overline{AB} [/mm] steht jeweils senkrecht auf ...., ich gebe dir noch den Hinweis: 1. Ableitung
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:29 Di 12.02.2008 | | Autor: | ZodiacXP |
Ja danke. Wollt gerade sagen. Dann bleibt nur noch euklidischen Abstand aufs Minimum bringen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:28 Mi 13.02.2008 | | Autor: | uarte |
vielen Dank für die Erläuterung, aber das mit dem Pythagoras und dem Differenzieren wurde ja schon in der Frage zitiert.
Die strecke AB hängt ja von zwei Abszissenwerten ab: f(xA, xB) = wurzel...
Da wird das Differenzieren doch zu einer abendfüllenden Angelegenheit.
Nun ist also der Mathematiker (und Mathematiker sind bekanntlich ziemlich faul) gefragt und der sportliche Ehrgeiz verlangt eine elegante Lösung.
Ich versuche es mal mit der Orthogonalen und einem (Steigungs-) Parameter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 Mi 13.02.2008 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo, ich habe jetzt richtig Gefallen an dieser Aufgabe gefunden, und an meinem Vorschlag von gestern weiter gebastelt, eigentlich jetzt erst erkannt, es steckt mehr dahinter, als gestern angenommen, Leduart hat mich vorhin in einem anderen Post auf eine Idee gebracht, die eventuell zum Ziel führt, zunächst meine Idee als Skizze:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich lege um A(-0,5 / -1,5) einen Kreis, Radius noch unbekannt, der Kreis darf beide Parabeln nur berühren,
Kreis: [mm] (x-0,5)^{2}+(y-1,5)^{2}=r^{2}
[/mm]
Parabel: [mm] y=(x-4)^{2}-2
[/mm]
jetzt habe ich die Gleichung der Parabel in die Gleichung des Kreises eingesetzt
[mm] x^{4}-16x^{3}+96x^{2}-249x+240,5=r^{2}
[/mm]
als Funktion 4. Grades betrachtet
[mm] y=x^{4}-16x^{3}+96x^{2}-249x+240,5-r^{2}
[/mm]
damit sich Parabel und Kreis berühren, darf diese Funktion 4. Grades nur eine Nullstelle haben, jetzt habe ich allerdings mit einem Funktionsplotter probiert, für [mm] 240,5-r^{2}\approx234,33 [/mm] hat die Funktion eine Nullstelle, für [mm] r^{2}=6,17 [/mm] damit habe ich meinen Kreis in obiger Skizze gezeichnet, sieht ja eigentlich gut aus??
Habe ich den Kreis, kann ich die Berührpunkte von Kreis mit beiden Parabeln bestimmen, dann auch den Abstand über mein gestriges Dreieck.
SOOO???
- Ist das eine Idee für die Lösung der Aufgabe?
- Wie bestimme ich in der Funktion 4. Grades das Absolutglied, damit es nur eine Nullstelle gibt?
nach zwei weiteren Stunden:
unter der Annahme, ich hätte die Funktion 4. Grades korrekt, habe ich die Berührpunkte H(2,78... / -0,5116...) und I(-1,78... / -2,4884...) die beiden grünen Tangenten haben jeweils den Anstieg -2,44... die Strecke [mm] \overline{IH} [/mm] hat als Gerade den Anstieg 0,41..., Produkt beider Anstiege ist -1, haut auch hin, das war meine Idee gestern schon, die Abstandsgerade steht jeweils senkrecht auf den Tangenten, wie gesagt es hängt aber alles von der Genauigkeit des Absolutgliedes der Funktion 4. Grades ab, da habe ich ja probiert, der kleinste Abstand sollte somit 5 Längeneinheiten betragen,
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:44 Do 14.02.2008 | | Autor: | oli_k |
Hallo,
ich finde, ihr macht das alle sehr kompliziert.
Mein Lösungsansatz ist hier:
Für den Abstand gilt stets die Formel:
[mm] d(a;b)=\wurzel{(b-a)^2+(-(b+3)^2-1-(a-4)^2+2)^2}
[/mm]
Gleichzeitig gilt, dass beim kürzesten Abstand f'(a)=f'(b):
[mm] [a^2-8a+14]'=[-b^2-6b-10]'
[/mm]
$ 2a-8=-2b-6 $
$ a=-b+1 $
Diesen Wert setzen wir nun in die Formel für d bei a ein:
[mm] d(b)=\wurzel{(b-(-b + 1))^2+(-(b+3)^2-1-((-b+1)-4)^2+2)^2}
[/mm]
So, jetzt haben wir den Abstand von dem x-Wert des Grafen b abhängig gemacht. Also jetzt differenzieren und vereinfachen:
[mm] d'(b)=\bruch{\wurzel{2}(4b^3+36b^2+108b+101)}{\wurzel{2b^4+24b^3+108b^2+202b+145}}
[/mm]
Gleich Null setzen und nur die reellen Ergebnisse nehmen:
[mm] 4b^3+36b^2+108b+101=0
[/mm]
[mm] b=\bruch{\wurzel[3]{14}}{2}-3
[/mm]
[mm] b\approx-1,794928867
[/mm]
So, jetzt haben wir also den Wert für b.
Einsetzen in a=-b+1 liefert [mm] a=\bruch{4-\wurzel[3]{14}}{2}\approx2.794928867
[/mm]
Die y-Werte erspar ich mir jetzt, wie man auf die kommt, sollte klar sein. Wenn ihr mal im Grafen schaut, machen die Werte sogar Sinn. Mit d komme ich auf knapp unter 5:
[mm] \wurzel{(((14^{1/3}/2 - 3) - (- (14^{1/3}/2 - 3) + 1))^2 + (- (14^{1/3}/2 - 3)^2 - 6*(14^{1/3}/2 - 3) - 10 - (- (14^{1/3}/2 - 3) + 1)^2 + 8*(- (14^{1/3}/2 - 3) + 1) - 14)^2)}\approx4.969256103
[/mm]
Müsste doch ok sein so, oder? Probleme gibt es erst bei höheren Geraden, da, wo f' auch mal denselben Wert annehmen kann für andere x-Werte... Aber dafür bin ich als blöder Schüler zu dumm ;)
Grüße,
Oli
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:47 Do 14.02.2008 | | Autor: | oli_k |
Lieber nochmal eine Frage dransetzen, damit ihr mal korrekturlest...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:41 Do 14.02.2008 | | Autor: | abakus |
Hallo,
ich glaube, man kann für beide Kurven die Normalengleichungen für je einen beliebigen Kurvenpunkt bilden. Diese beiden Geraden müssen dann identisch sein bzw. auch mit der Verbindungsgeraden der beiden Punkte übereinstimmen.
(Kann aber auch viel Arbeit machen.)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:36 Do 14.02.2008 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo [mm] oli_k, [/mm] diese Idee hatte ich ja auch schon [mm] \overline{AB}=\wurzel{(x_B-x_A)^{2}+(f(x_B)-f(x_A))^{2}} [/mm] über 1. Ableitung Abstand minimieren, dann aber verworfen und über den Kreis gerechnet, ich hatte auch ganz knapp 5 für den Abstand, werde heute Nachmittag mal deine Variante komplett durchrechnen, trotzdem bleiben meine Fragen stehen:
- Absolutglied, so dass es nur eine Nullstelle in der Funktion 4. GRades gibt,
- ist das Verfahren über den Kreis auch möglich (denke jetzt JA, da gleiche Ergebnisse, 5)
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 Do 14.02.2008 | | Autor: | oli_k |
Hi, beim Filtern des Absolutgliedes kann ich dir leider nicht behilflich sein, sowas lernt man wohl erst im Studium. Allerdings bekomme ich, wenn ich deine Gleichung auflöse mit deinem r auch auf etwa 2,79 als einzige reelle Lösung - dieselbe Stelle also, die ich auch herausgefunden habe.
Würde mich freuen, wenn du dir meine Lösung nochmal anschaust und mir sagst, ob man den Ansatz mit f'(a)=f'(b) so benutzen darf. Vielleicht hast du ja auch eine Idee, wie man das auf Funktionen übertragen kann, die für verschiedene x-Werte dieselbe Steigung haben.
Grüße,
Oli
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Hallo Oli, habe heute Nachmittag deine Version komplett gerechnet, ich komme auf die gleichen Ergebnisse, wenn du meinen 1. Post zu der Frage anschaust, dort habe ich geschrieben:
"jetzt überlege dir noch, die Strecke [mm] \overline{AB} [/mm] steht jeweils senkrecht auf ...., ich gebe dir noch den Hinweis: 1. Ableitung"
mit diesem Vorschlag an uarte habe ich genau auf deinen Rechenweg hingewiesen, ..... bedeutet also "auf den Tangenten", somit dürfte auch der Hinweis zur 1. Ableitung klar gewesen sein, die für beide Tangenten ja gleich ist, habe gemerkt, recht hoher Rechenaufwand, darum habe ich weiter gesucht und bin auf die Idee mit dem Kreis gekommen, war auch ganz schön zu rechnen,
also zwei Lösungswege mit gleichem Abstand, ganz knapp 5,
mein Problem ist immer noch das Absolutglied, probiert wie gesagt durch Plotter,
werde mal die Frage in den matheraum stellen, wie man das Absolutglied berechnen kann, dass es eine Nullstelle gibt,
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:02 Do 14.02.2008 | | Autor: | oli_k |
Hallo,
ok, danke, dass du das auch nochmal durchgerechnet hast.
Hatte deinen Vorschlag garnicht gelesen, wusste also garnicht, dass du meinen Lösungsweg schon vorgeschlagen hattest. So viel Rechenaufwand war das garnicht, die Ableitungen sind in zwei Minuten gleichgesetzt, dann muss nur noch eine Gleichung mit einer Unbekannten freigestellt werden und man hat schon die richtige Stelle...
Wünsch dir dennoch noch viel Glück mit deiner Methode, die für mich (noch) unlösbar ist ;)
Grüße
Oli
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:56 Do 14.02.2008 | | Autor: | uarte |
Hallo alle, das ist das erste mal, daß ich in einem Forum eine Frage stelle - ich bin echt begeistert! Vielen Dank auch für die gründlichen Recherchen und Denkanstöße.
--> Steffi: wie kommst Du auf den Punkt A (0,5/-1,5) ? Habe ich da eine Sperre im Hirn? Du hast anscheinend die waagerechten Tangenten in B und D genommen, aber BE und CD sind nicht notwendigerweise parallel. Und was passiert,wenn die linke Parabel noch ein paar Einheiten weiter im Keller wäre?
bei der Kreisgleichung ist wohl ein kleiner Tippfehler passiert, aber im Endergebnis stimmt das wieder.
Bei der Gleichung 4.Grades hilft unser alter Newton (mal wieder der).
Der hat ein brauchbares Näherungsverfahren entwickelt - das ist Stoff für Höhere Mathe 1 - je nachdem (oder auch andere Iterationsverfahren). Der ist hier ja auch gar nict gefragt, den es kommt ja darauf an, den Lösungsweg zu beschreiben und sich nicht in ewige Rechnereien zu verlieren.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:10 Do 14.02.2008 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo, Tippfehler, na klar y+1,5, habe aber mit plus gerechnet, zum Mittelpunkt:
[Dateianhang nicht öffentlich]
jetzt klar?
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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