Minimaler Fehler < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:27 Di 14.08.2007 | | Autor: | polyurie |
| Aufgabe | Für die Messwertreihe
i | 0 | 1 | 2
--------------------
[mm] t_{i} [/mm] | 0 | 2 | 3
--------------------
[mm] f_{t_{i}} [/mm] | [mm] \bruch{1}{2} [/mm] | [mm] \bruch{7}{2} [/mm] | 5
ist diejenige Gerade [mm] g_{(t)}=at+b [/mm] gesucht, die den Fehler d minimiert mit
[mm] d=\summe_{i=0}^{2}(f_{(t_{i})}-g_{(t_{i})})^{2} [/mm] |
Hallo,
habe [mm] f_{(t_{i})}=\bruch{3}{2}t+\bruch{1}{2} [/mm] ausgerechnet, da die Meßwertreihe schon eine Gerade ergibt ist das dann wohl auch genau diejenige Gerade, die den Fehler minimiert, bzw. keinen Fehler hat.
Mich interessiert aber trotzdem wie das funktionieren würde, wenn die Funktion die man aus den Messwerten der Tabelle enthält z.B. [mm] \wurzel{t} [/mm] wäre.
Es wäre super wenn mir jemand zeigen könnte wie man das mit der Formel [mm] d=\summe_{i=0}^{2}(f_{(t_{i})}-g_{(t_{i})})^{2} [/mm] ausrechnet. Hab da Probleme mit dem Summenzeichen und der Umsetzung. Den Rest müsste ich alleine schaffen.
Tausend Dank
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:18 Di 14.08.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Für die Messwertreihe
> i | 0 | 1 | 2
> --------------------
> [mm]t_{i}[/mm] | 0 | 2 | 3
> --------------------
> [mm]f_{t_{i}}[/mm] | [mm]\bruch{1}{2}[/mm] | [mm]\bruch{7}{2}[/mm] | 5
>
> ist diejenige Gerade [mm]g_{(t)}=at+b[/mm] gesucht, die den Fehler d
> minimiert mit
> [mm]d=\summe_{i=0}^{2}(f_{(t_{i})}-g_{(t_{i})})^{2}[/mm]
>
> Hallo,
> habe [mm]f_{(t_{i})}=\bruch{3}{2}t+\bruch{1}{2}[/mm]
> ausgerechnet, da die Meßwertreihe schon eine Gerade ergibt
> ist das dann wohl auch genau diejenige Gerade, die den
> Fehler minimiert, bzw. keinen Fehler hat.
Genau.
> Mich interessiert aber trotzdem wie das funktionieren
> würde, wenn die Funktion die man aus den Messwerten der
> Tabelle enthält z.B. [mm]\wurzel{t}[/mm] wäre.
> Es wäre super wenn mir jemand zeigen könnte wie man das
> mit der Formel
> [mm]d=\summe_{i=0}^{2}(f_{(t_{i})}-g_{(t_{i})})^{2}[/mm] ausrechnet.
> Hab da Probleme mit dem Summenzeichen und der Umsetzung.
> Den Rest müsste ich alleine schaffen.
Um ganz allgemein zu sehen, wie das geht, schau doch mal ![[]](/images/popup.gif) hier. Oder wenn du gleich eine Loesung fuer den einfacheren Fall (den du vorliegen hast) haben willst, dann schau weiter oben im Link. Oder such direkt bei google nach 'Methode der kleinsten Quadrate', du wirst dort sicher einige gute Erklaerungen finden (aber wahrscheinlich auch einige nicht so gute, also nicht aufgeben :) ).
Und falls dich eher die Sicht aus der Analysis interessiert: du hast eine Funktion [mm] $\IR^2 \to \IR$, [/mm] welche dem Paar $(a, b)$ den Wert [mm] $\summe_{i=0}^{2}(f_{(t_{i})}-g_{(t_{i})})^{2}$ [/mm] zuordnet (wobei $f = a t + b$ ist). Um diese zu minimieren, musst du den Gradienten berechnen und gleich 0 setzen. Dann erhaelst du im Endeffekt genau die gleiche Loesung als wenn du ueber die lineare Algebra gehst (wie im Link beschrieben).
LG Felix
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Hallo, ich nenne Dir auch nur die Stichwörter die in dem Zusammenhang interessant wären:
1. minimale Quadrate (wurde ja bereits erwähnt)
2. wie löst man minimale Quadrate-Probleme:
mehere Möglichkeiten
i) du hast dort min [mm] \parallel Ax-b\parallel_2 \gdw [/mm] min [mm] \parallel Ax-b\parallel_2^2 [/mm] =x'*A'*A*x-2*x'*A'*b+b'*b. Du bildest den Gradienten: er ist: A'Ax-A'b und weil die Funktion quadratisch mit einer positiv semidefiniter Matrix (A'*A) ist, ist die Nullstelle des Gradienten zugleich das Minimum. Wenn die Matrix (A'*A) positiv definit ist dann ist das Minimum sogar eindeutig. Die Nullstelle des obigen Gradienten kannst Du mit einem beliebigen Linearen Löser lösen.
ii) Du berechnest die Singulärwertzerlegung von [mm] A=U\SigmaV^T [/mm] (Achtung es ist nicht die Eigenwertzerlegung von A gemeint) und Berechnest dann die Moore-Penrose-Pseudoinverse von [mm] A^+=V\Sigma^-1U^T [/mm] und die Lösung ist dann x^*=A^+b
iii) Du wendest die Conjugierte Gradienten Methode, die für Probleme solcher Art entwickelt wurde. Die Theorie dafür kann ich leider nicht aus dem Kopf hinschreiben.
Ich würde die CG-MEthode empfehlen oder wenn das Problem klein ist, ist auch die Singulärwertzerlung gut. Die erste Variante ist am schlechtesten!
bis dann
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