Minimalpolynom < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:41 Di 20.06.2006 | | Autor: | Fahnder |
Hi,
ich habe eine Frage:
Wenn man die Matrix A hat, sagen wir mal [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2} [/mm] hat, wie berechnet man das Minimalpolynom?
also ich habe das charakteristische Polynom (x-1) ^{2} * (x-2)
Aber wie berechnet man das Minimalpolynom?
Also es gibt ja meiner Meinung nach nur die Möglichkeit
(x-2) und (x-1)*(x-2). Weil diese Matrix ja schon die eigenwerte wieder gibt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:21 Di 20.06.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo.
> Also es gibt ja meiner Meinung nach nur die Möglichkeit (x-2) und (x-1)*(x-2)
Nicht ganz. Die Nullstellen des charakteristischen Polynomes sind genau die Nullstellen des Minimalpolynomes. Folglich kommen für letztes nur $(x-1)(x-2) $ und [mm] $(x-1)^2\cdot [/mm] (x-2)$ (also das charakteristische Polynom selbst) in Frage. Um festzustellen, welches nun das Minimalpolynom ist, musst du prüfen, ob $((x-1)(x-2))(A)=0$ ist.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:45 Di 20.06.2006 | | Autor: | Fahnder |
Hi,
und wie rechnet man ein Polynom mal eine Matirx, habe bisher immer nur Vektoren mal eine Matrix genommen
Also es müsste ja da stehen:
( [mm] x^{2} [/mm] -3x +2) * [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2}
[/mm]
Muss man die Determinante der Matrix nehmen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:31 Di 20.06.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo.
Nein, du musst die Matrix $A$ in das Polynom [mm] $x^3-3x+2$ [/mm] einsetzen, d.h. die Matrix [mm] $A^3-3A+2E$ [/mm] bestimmen.
Darum geht es ja: das Minimalpolynom ist das (normierte) Polynom kleinsten Grades, das $A$ als Nullstelle hat.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:18 Di 27.06.2006 | | Autor: | Dreieck |
1) Wenn ich das richtig verstanden habe, ist $(x-2)*(x-1)$ das gesuchte Minimalpolynom, da $(A-2*E)*(A-E)=0$ (Nullmatrix)?
Ich hab so ein aehnliches Beispiel zu rechnen:
2) gesucht ist das Minimalpolynom zu $A = [mm] \pmat{ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 }$
[/mm]
das charakteristische Polynom waere dann [mm] $-x^3 [/mm] + [mm] 2x^2 [/mm] + 6x - 12 = [mm] -(x-2)^2*(x+2)$
[/mm]
Also probier ich $(A-2*E)*(A+2E)$, ist aber [mm] \pmat{ -2 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 4 & 2 & 2 }
[/mm]
somit muss ich weiterprobieren und bei [mm] $(A-2*E)^2*(A+2E)$ [/mm] komm ich erst zur gesuchten Nullmatrix. Also waere in diesem Fall das charakteristische Polynom gleich dem Minimalpolynom also $ [mm] -(x-2)^2*(x+2)$ [/mm] ?
3) gesucht ist das Minimalpolynom zu $A = [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ -1 & 1 } [/mm] $
charakt. Polynom waere dann [mm] $x^3 [/mm] - 3x + 3$. Hat aber keine Nullstellen, zumindest nicht in $R$. Ist nun das Minimalpolynom gleich [mm] $x^2 [/mm] - 3x +3$ ?
(An einer Antwort bin ich immer interessiert auch noch Jahre spaeter, allerdings waere es wunderbar, wenn ich eine Antwort noch diese Woche bekaeme. Danke)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:54 Mi 28.06.2006 | | Autor: | Dreieck |
dankeschoen.
ad 2) hab mich total verrechnet. komisch. da waren ja nur fehler drin. Gluecklicherweise aendert sich dennoch am Ergebnis nichts wesentliches. 
Charakt. Polynom zu $A = [mm] \pmat{ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 }$
[/mm]
ist [mm] $-x^3 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] + x - 1 = [mm] -(x-1)^2*(x+1)$
[/mm]
Also probier ich $(A-E)*(A+E)$, ist aber [mm] \pmat{ -1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 }
[/mm]
somit muss ich weiterprobieren und bei [mm] $(A-E)^2*(A+E)$ [/mm] komm ich erst zur gesuchten Nullmatrix. Also sollte das Minimalpolynom $ [mm] (x-1)^2*(x+1)$ [/mm] sein.
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