Minimalpolynom < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:40 Sa 12.05.2007 | | Autor: | clover84 |
Hallo Zusammen,
ich weiß leider nicht so recht, wie man ein Minimalpolynom bestimmt.
Könnte mir das bitte jemand an folgendem Beispiel erklären:
gegeben sei die Matrix A= [mm] \pmat{ 0 & 0 & -2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 3 }
[/mm]
Das charakteristische Polynom ist: [mm] (\lambda [/mm] - 1) [mm] (\lambda [/mm] - [mm] 2)^2
[/mm]
Daraus folgt, dass [mm] \lambda [/mm] = 1 und [mm] \lambda [/mm] = 2 Eigenwerte sind.
Den Eigenraum zu [mm] \lambda [/mm] = 1 spannt der Vektor [mm] \vektor{-2 \\ 1 \\ 1} [/mm] auf.
Und den Eigenraum zu [mm] \lambda [/mm] = 2 spannen folgende Vektroen auf: [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 1} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
Wie bildet man nun das Minimalpolynom?? Könnte mir da bitte jemand erklären??
Vielen lieben Dank im voraus.
Gruß, clover
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:46 Sa 12.05.2007 | | Autor: | barsch |
Ich muss vorweg sagen, dass ich mir am Ende meines Artikels nicht ganz sicher war, ob das so stimmt, ich poste es aber trotzdem mal, vielleicht hilft es dir.
Hi,
dein charakteristisches Polynom lautete [mm] p_{A}(\lambda)=(\lambda-1)\*(\lambda-2)^{2}
[/mm]
[mm] \lambda=1 [/mm] hat die algebraische Vielfachheit 1
[mm] \lambda=2 [/mm] hat die algebraische Vielfachheit 2
Eigentlich berechnet man den Span des Eigenraumes, indem man
[mm] Kern(A-2\*Id) [/mm] berechnet, und den zweiten Vektor erhält man, indem man [mm] Kern((A-2\*Id)^{2})) [/mm] berechnet.
[mm] Kern((A-2\*Id)^{2})) [/mm] muss natürlich nur berechnet werden, wenn die geometrische Vielfachheit von [mm] Kern(A-2\*Id) [/mm] < als die algebraische Vielfachheit von [mm] \lambda=2.
[/mm]
Du siehst hier aber, dass [mm] Kern(A-2\*Id) [/mm] die geometrische Vielfachheit 2 hat, und deswegen brauchst du nicht [mm] Kern((A-2\*Id)^{2})) [/mm] berechnen.
[mm] Kern(A-1\*Id) [/mm] hat die geometrische Vielfachheit 1 = algebraische Vielfachheit.
Jetzt weiß ich nicht, ob die Schreibweise so in Ordnung ist, aber ich würde sagen:
[mm] m_{A}(\lambda)=(\lambda-1)\*(\lambda-2) [/mm] ist das Minimalpolynom.
MfG
barsch
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> Hi,
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> dein charakteristisches Polynom lautete
> [mm]p_{A}(\lambda)=(\lambda-1)\*(\lambda-2)^{2}[/mm]
>
> [mm]\lambda=1[/mm] hat die algebraische Vielfachheit 1
> [mm]\lambda=2[/mm] hat die algebraische Vielfachheit 2
>
> Eigentlich berechnet man den Span des Eigenraumes, indem
> man
>
> [mm]Kern(A-2\*Id)[/mm] berechnet,
Hallo,
und das war's dann.
Der Eigenraum zum Eigenwert 2 ist der Lösungsraum von [mm] Kern(A-2\*Id).
[/mm]
Gruß v. Angela
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> Hallo Zusammen,
>
> ich weiß leider nicht so recht, wie man ein Minimalpolynom
> bestimmt.
>
> Könnte mir das bitte jemand an folgendem Beispiel
> erklären:
>
>
> gegeben sei die Matrix A= [mm]\pmat{ 0 & 0 & -2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 3 }[/mm]
>
> Das charakteristische Polynom ist: [mm](\lambda[/mm] - 1) [mm](\lambda[/mm] -
> [mm]2)^2[/mm]
> Wie bildet man nun das Minimalpolynom?? Könnte mir da bitte
> jemand erklären??
Hallo,
das Minimalpolynom [mm] \mu_a [/mm] kannst Du mit folgenden Informationen finden:
das Minimalpolynom hat dieselben Nullstellen wie das Charakteristische Polynom,
es teilt das charakteristische Polynom,
und [mm] \mu_A(A)=0.
[/mm]
Das Minimalpolynom hat dieselben Nullstellen wie das Charakteristische Polynom: hieraus weißt Du [mm] \mu_A(x)=(x-1)^k(x-2)^l [/mm] mit k,l [mm] \ge [/mm] 1.
Es teilt das charakteristische Polynom: k=1 und l=1 oder l=2.
Es kommen als Kandidaten also nur (x-1)(x-2) und [mm] (x-1)(x-2)^2 [/mm] infrage.
Es ist [mm] \mu_A(A)=0: [/mm]
Setze A ins erste Polynom ein, berechne also (A-1E)(A-2E). Erhältst Du die Nullmatrix, hast Du das Minimalpolynom bereits gefunden.
Erhältst Du nicht die Nullmatrix, ist das andere, das charakteristische Polynom gleichzeitig das Minimalpolynom. (Wenn Du ins charakteristische polynom die Matrix A einsetzt, erhältst Du immer die Nullmatrix, das sagt der Satz von Hamilton-Cayley.)
Es kann natürlich auch vorkommen, daß Du mehr als zwei Möglichkeiten zu überprüfen hast.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:33 Sa 12.05.2007 | | Autor: | clover84 |
Danke für die hilfreiche Erklärung.
Ich hab es mal ausgerechnet und erhalte als Minimalpolynom [mm] \mu_a [/mm] = (x-1)*(x-2)
Gruß, clover
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