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Hallo!
Ich habe vorhin gelesen, dass die Potenz der "Nullstelle" (also ich meine das
[mm] \alpha [/mm] in (t- [mm] \lambda)^\alpha) [/mm] im Minimalpolynom die Größe des größten Jordanblocks zu diesem Eigenwert festlegt. Kann mir jemand erklären, warum?
Ich würde dieses Argument gerne in einer Argumentation verwenden, nur leider hänge ich ein wenig in der Luft, weil ich nicht weiß, worauf sich
das stützt. Praktisch ist mir das klar.
Vielen Dank,
robbonaut
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Hi,
> Hallo!
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> Ich habe vorhin gelesen, dass die Potenz der "Nullstelle"
> (also ich meine das
> [mm]\alpha[/mm] in (t- [mm]\lambda)^\alpha)[/mm] im Minimalpolynom die Größe
> des größten Jordanblocks zu diesem Eigenwert festlegt. Kann
> mir jemand erklären, warum?
>
> Ich würde dieses Argument gerne in einer Argumentation
> verwenden, nur leider hänge ich ein wenig in der Luft, weil
> ich nicht weiß, worauf sich
> das stützt. Praktisch ist mir das klar.
>
> Vielen Dank,
> robbonaut
Angenommen $F [mm] \in [/mm] End(V)$ .
Wenn der Fall auftritt, dass die Dimensions des Eigenraumes zu einem bestimmten Eigenwert [mm] \lambda [/mm] - [mm] $Eig(F;\lambda)$ [/mm] - kleiner ist als die algebraische Vielfachheit [mm] \mu(\lambda) [/mm] ist, denn betrachten wir solange Potenzen von $(F - [mm] \lambda id_V)^\alpha$, [/mm] bis $dim(kern((F - [mm] \lambda id_V)^\alpha)) [/mm] = [mm] \mu(\lambda)$ [/mm] . Dieses [mm] \alpha [/mm] ist dann die Grösse des grössten Jordanblocks. Erst ab diesem [mm] \alpha [/mm] ist $(F - [mm] \lambda id_V)^\alpha)_{|Hau(F;\lambda)} [/mm] = 0$ , also die Nullabbildung.
Jetzt etwas anders: warum sucht man Eigenwerte und Eigenräume? Gesucht ist eigentlich eine Zerlegung des Vektorraumes V in invarianten Unterräumen, so dass die darstellende Matrix von F eine möglichst einfache Form hat, also möglichst viele Nullen. Wenn die Basen der Eigenräume keine Basis von V bilden, weil die geometrische Vielfachheit einiger Eigenwerte nicht gross genug sind, betrachtet man Haupträume, um auf die invarianten Unterräume zu kommen.
Hoffentlich hilft Dir das weiter.
Gruss,
logarithmus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:55 Sa 19.04.2008 | | Autor: | robbonaut |
Super, dankeschön!
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