Minimalpolynom < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:29 Do 24.04.2008 | | Autor: | JulianTa |
| Aufgabe | Sei A [mm] \in Mat(3x3,\IR)
[/mm]
A= [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 }, A^2= \pmat{ 1&2&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1}= [/mm] 2A - [mm] 1*E_3
[/mm]
Bestimme das Minimalpolynom! |
Hallo! in der Vorlesung hatten wir dieses Beispiel. Ich verstehe leider folgende Lösung überhaupt nicht, und würde gern wissen, wie ich das Minimalpolynom bestimme. Leider können mir die Kommilitonen auch nicht weiterhelfen, mit denen ich zu tun habe.
Also die Lösung des Profs war:
"Weil A kein Vielfaches der Einheitsmatrix ist, gibt es kein Polynom vom Grad 1, welches A als Nullstelle hat. Also ist q= [mm] t^2 [/mm] - 2t + 1 das Minimalpolynom."
Vielen Dank
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> Sei A [mm]\in Mat(3x3,\IR)[/mm]
> A= [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 }, A^2= \pmat{ 1&2&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1}=[/mm]
> 2A - [mm]1*E_3[/mm]
> Bestimme das Minimalpolynom!
> Hallo! in der Vorlesung hatten wir dieses Beispiel. Ich
> verstehe leider folgende Lösung überhaupt nicht, und würde
> gern wissen, wie ich das Minimalpolynom bestimme. Leider
> können mir die Kommilitonen auch nicht weiterhelfen, mit
> denen ich zu tun habe.
> Also die Lösung des Profs war:
>
> "Weil A kein Vielfaches der Einheitsmatrix ist, gibt es
> kein Polynom vom Grad 1, welches A als Nullstelle hat. Also
> ist q= [mm]t^2[/mm] - 2t + 1 das Minimalpolynom."
Hallo,
ich gehe davon aus, daß Du weißt, was das Minimimalpolynom ist.
Wäre das von A vom Grad 1, so hätte es die Gestalt p(x)=x+a.
Wenn das das Minipol wäre, wäre [mm] Nullmatrix=A+a*E_3, [/mm] dh. [mm] a=-aE_3. [/mm]
Dies ist nicht der Fall.
Also ist das Minimalpolynom mindestens vom Grad 2.
Es ist [mm] A^2= [/mm] 2A - [mm]1*E_3[/mm], dh. [mm] Nullmatrix=A^2 [/mm] - 2A - [mm] 1*E_3.
[/mm]
Also ist A Nullstelle von [mm] q(x)=x^2-2x-1.
[/mm]
Somit ist das Minimalpolynom höchstens vom Grad 2.
Insgesamt hat man: das Minipol ist vom Grad 2, und da es eindeutig bestimmt ist, ist [mm] q(x)=x^2-2x-1 [/mm] das Minimalpolynom.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:24 Sa 26.04.2008 | | Autor: | Annanna |
La 2 beim Kebekus, stimmts? :)
Leider versteh ich auch nicht was er uns damit sagen wollte...
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