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| Aufgabe | $ A = [mm] \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 2 & 0 & 0\\
0 & 0 & 3 & 0\\
0 & 0 & 1 & 3\end{pmatrix}$
[/mm]
Bestimme das Minimalpolynom [mm] $\mu_A(x)$ [/mm] |
Hi,
normalerweise bestimme ich immer zuerst das charakteristische Polynom und dann leite ich daraus das Minimalpolynom durch try&error ab.
Da aber genau dieses Verfahren in der letzten Klausur durch irreduzible Faktoren und sonstigen Heck-Meck völlig in die Hose ging, wollte ich das alternative Verfahren mir dazu bis morgen (dann ist der nachschreibetermin) einprägen:
Zunächst zur Kontrolle das Charakteristische Polynom ist
$$ [mm] \chi_A(x) [/mm] = [mm] (x-1)(x-2)(x-3)^2$$
[/mm]
Nun aber zu dem anderen Verfahren.
Generell berechne ich ja [mm] $e_1, Ae_1, A^2e_1 \ldots$ [/mm] bis ich einen von den anderen linear abhängigen Vektor bekomme.
Hier passiert nun aber folgendes:
[mm] $Ae_1 [/mm] = [mm] e_1$ [/mm] linear abhängig also nächstes Einheitsvektor.
[mm] $Ae_2 [/mm] = [mm] 2e_2$ [/mm] linear abhängig also nächstes Einheitsvektor.
[mm] $Ae_3 [/mm] = [mm] 3e_3$ [/mm] linear abhängig also nächsten Einheitsvektor.
[mm] $Ae_4 [/mm] = [mm] 3e_4$ [/mm] linear abhängig.
Jetzt habe ich bei allen 4 Ansätzen direkt einen linear abhängigen Vektor heraus bekommen.
Was mache ich falsch?
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Hallo NightmareVirus,
> $ A = [mm]\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 2 & 0 & 0\\
0 & 0 & 3 & 0\\
0 & 0 & 1 & 3\end{pmatrix}$[/mm]
>
> Bestimme das Minimalpolynom [mm]\mu_A(x)[/mm]
> Hi,
> normalerweise bestimme ich immer zuerst das
> charakteristische Polynom und dann leite ich daraus das
> Minimalpolynom durch try&error ab.
> Da aber genau dieses Verfahren in der letzten Klausur
> durch irreduzible Faktoren und sonstigen Heck-Meck völlig
> in die Hose ging, wollte ich das alternative Verfahren mir
> dazu bis morgen (dann ist der nachschreibetermin)
> einprägen:
>
> Zunächst zur Kontrolle das Charakteristische Polynom ist
> [mm]\chi_A(x) = (x-1)(x-2)(x-3)^2[/mm]
>
> Nun aber zu dem anderen Verfahren.
> Generell berechne ich ja [mm]e_1, Ae_1, A^2e_1 \ldots[/mm] bis ich
> einen von den anderen linear abhängigen Vektor bekomme.
>
> Hier passiert nun aber folgendes:
>
> [mm]Ae_1 = e_1[/mm] linear abhängig also nächstes Einheitsvektor.
> [mm]Ae_2 = 2e_2[/mm] linear abhängig also nächstes
> Einheitsvektor.
> [mm]Ae_3 = 3e_3[/mm] linear abhängig also nächsten
> Einheitsvektor.
> [mm]Ae_4 = 3e_4[/mm] linear abhängig.
>
> Jetzt habe ich bei allen 4 Ansätzen direkt einen linear
> abhängigen Vektor heraus bekommen.
Nun, das Minimimalpolynom ist Teiler des charakteristischen Polynoms.
Das Minimalpolynom hat also die Gestalt: [mm]\mu_A(x)=(x-1)(x-2)(x-3)^{k}[/mm]
, wobei k=1 oder k=2 ist.
Um das herauszufinden, berechne den Rang[mm]\left(A-3E\right)[/mm],
sowie den Rang Rang[mm]\left( \left(A-3E\right)^{2} \right)[/mm].
Sind die beiden Ränge gleich, so lautet das Minimalpolynom:
[mm]\mu_A(x)=(x-1)(x-2)(x-3)^{1}[/mm]
>
> Was mache ich falsch?
Gruss
MathePower
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ich hatte doch bereits geschrieben, dass ich dieses Verfahren bisher so gemacht habe, es aber leider nicht immer funktioniert hat. Und ich deshalb das andere Verfahren noch kennenlernen möchte!
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Hallo,
die Sache mit den Rängen hat Dir Mathepower ja schon gesagt.
Die andere Möglichkeit:
Du hast als Minimalpolynome ja nur [mm] p_1(x)=(x-1)(x-2)(x-3) [/mm] und [mm] p_2(x)=(x-1)(x-2)(x-3)^2 [/mm] zur Auswahl.
Ist [mm] p_1(A)=0, [/mm] so ist [mm] p_1 [/mm] das Minimalpolynom, ansonsten ist hier das charakteristische Polynom das Minimalpolynom.
Welches Verfahren Du meinst, weiß ich gerade nicht. Wie heißt denn das, wo kann man es nachlesen?
(Es sieht mir so aus, asl würdest Du am ehesten das meinen, was MathePower Dir gesagt hat.)
Gruß v. Angela
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