Minimalpolynom < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:24 Mo 01.02.2010 | | Autor: | jokerose |
| Aufgabe | | Berechne das Minimalpolynom [mm] \mu \in \IQ[X] [/mm] von [mm] e^{\bruch{2*\pi*i}{n}} [/mm] für n = 2,...,12. |
Eigentlich kann ich die Aufgabe lösen.
Für n= 6 wäre die Zerlegung wie folgt:
[mm] x^6-1 [/mm] = [mm] (x^3+1)(x^3-1) [/mm] = [mm] (x^3+1)(x-1)(x^2+x+1).
[/mm]
Das Minimalpolynom wäre also [mm] x^2+x+1.
[/mm]
Doch ich habe gemeint, dass es einen Trick gibt, der bei der Lösung dieser Aufgabe helfen würde.
Irgendwas mit der [mm] Euler-\varphi-Funktion.
[/mm]
[mm] \varphi(6)=2. [/mm] Die Einheiten wären also 1 und 5.
Inwiefern sind mir diese Informationen hilfreich?
Habe wirklich gemeint, dass ich was in dieser Art in diesem Zusammenhang bereits wo gesehen habe. Was könnte dies wohl gewesen sein?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:02 Di 02.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Berechne das Minimalpolynom [mm]\mu \in \IQ[X][/mm] von
> [mm]e^{\bruch{2*\pi*i}{n}}[/mm] für n = 2,...,12.
> Eigentlich kann ich die Aufgabe lösen.
> Für n= 6 wäre die Zerlegung wie folgt:
>
> [mm]x^6-1[/mm] = [mm](x^3+1)(x^3-1)[/mm] = [mm](x^3+1)(x-1)(x^2+x+1).[/mm]
>
> Das Minimalpolynom wäre also [mm]x^2+x+1.[/mm]
>
> Doch ich habe gemeint, dass es einen Trick gibt, der bei
> der Lösung dieser Aufgabe helfen würde.
> Irgendwas mit der [mm]Euler-\varphi-Funktion.[/mm]
Nun ja, die Gestalt der obigen Polynome hat damit einen Zusammenhang, siehe ![[]](/images/popup.gif) im Wiki.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:19 Mi 03.02.2010 | | Autor: | jokerose |
aja genau, dann entspricht also [mm] \varphi(n) [/mm] genau dem Grad des Minimalpolynoms.
Danke. 
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