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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:52 Mi 12.05.2010 | | Autor: | icarus89 |
| Aufgabe | | Zeige: Jedes Polynom über einem algebraisch abgeschlossenem Körper tritt als Minimalpolynom einer Matrix auf. |
Heyho:
Wegen Primfaktorzerlegung (mit ein bisschen Begrüdnung...) reicht es zu zeigen, dass [mm] \forall \lambda \in \IK [/mm] und [mm] \forall k\in \IN [/mm] eine Matrix existiert mit Minimalpolynom [mm] (X-\lambda)^{k}
[/mm]
So, ich will das mit Induktion beweisen. Für k=1 ist es klar. Und für [mm] k\to [/mm] k+1 will ich zeigen, dass für die Matrix [mm] M':=\pmat{ \lambda & x...y \\ 0 & M } [/mm] mit Nichtnulleinträgen über M gilt:
[mm] Minimalpolynom(M')=(X-\lambda)*Minimalpolynom(M)
[/mm]
Klar ist, dass das Minimalpolynom(M) das Minimalpolynom(M') teilt.
Was mir noch nicht ganz klar ist, wie ich zeige, dass das Minimalpolynom(M) nicht schon Minimalpolynom(M') ist.
Dies ist hoffentlich so gegeben (wegen den Nichtnulleinträgen über M???)
Die M' bzw. der von M' beschriebene Endomorphismus eingesetzt in das Minimalpolynom ist ja 0. Kann ich also irgendeinen Vektor finden, sodass [mm] Minimalpolynom(M)(M*v)\not=0?
[/mm]
Mir ist nur nicht klar, wie ich diesen Vektor wählen kann...
Wenn meine Idee denn überhaupt korrekt ist...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:49 Mi 12.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> Was mir noch nicht ganz klar ist, wie ich zeige, dass das
> Minimalpolynom(M) nicht schon Minimalpolynom(M') ist.
Das ist auch nicht klar, und bei beliebiger Wahl von [m]x...y[/m] auch einfach nur falsch. Betrachte mal [m]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 },\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }[/m] mit einzigem EW 1. Was sind jeweils die Minimalpolynome? Arbeite mal damit ...
Wenn nach eigenem Überlegen nichts rumkommt, google mal nach Jordankästchen / Zerlegung, dann sollte die Lösung klar werden.
SEcki
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