Minimalpolynom < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:47 Di 14.06.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo...haben heute in der Vorlesung wieder einmal ein Beispiel gemacht wo es mir einfach ein bißchen zu schnell ging.
Und zwar:
Sei A = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 0 & 3 }
[/mm]
Dann ist das charakteristische Polynom [mm] (x-2)^{4}
[/mm]
Meine Frage lautet jetzt wie man auf das Minimalpolynom kommt, welches
[mm] (x-2)^{2} [/mm] lautet, zumahl für mich [mm] (x-2)^{2} [/mm] nicht irreduzibel ist
da (x-2) = (x-2) ist und x-2 somit 2mal vorkommt.....
Ich glaube ich hab irreduzibel noch nicht so ganz kapiert.....
mfg,
Hannes
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Hallo!
Das "irreduzibel" bezieht sich hier darauf, dass [mm] $(A-2I)^2=0$, [/mm] aber [mm] $A-2I\ne [/mm] 0$.
Es gibt verschiedene Methoden, um herauszufinden, dass [mm] $(x-2)^2$ [/mm] das Minimalpolynom ist. Eine Möglichkeit wäre, einfach $A$ einzusetzen und zu zeigen, dass [mm] $(A-2I)^2=0$. [/mm] Dazu kann man z.B. zeigen, dass eine (beliebige) Basis von [mm] $(A-2I)^2$ [/mm] auf $0$ abgebildet wird.
Eine andere Methode wäre, die Eigenvektoren und die verallgemeinerten Eigenvektoren zu bestimmen.
Wie habt ihr es denn in der Vorlesung gemacht? Wenn du den Rechenweg dort nicht verstehst, helfe ich dir gerne weiter!
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 Di 14.06.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo....wir haben tatsächlich eine Methode kennengelernt wie man das Minimalpolynom bestimmt.
1. Man zerlege [mm] c_{A} [/mm] in irreduzible Faktoren: [mm] c_{A} [/mm] = [mm] p_{1}^{t_{1}},.....,p_{r}^{t_{r}}
[/mm]
.....Was in dem Beispiel [mm] (x-2)^{4} [/mm] ja schon geschehen ist.....
2.Man starte bei [mm] p_{1}...p_{r}, [/mm] prüfe ob [mm] p_{1}...p_{r} [/mm] A als Nullstelle hat, falls ja ist [mm] m_{A} [/mm] = [mm] p_{1}..p_{r}. [/mm] Falls nicht probier man [mm] p_{1}^{2}p_{2}.....p_{r} [/mm] etc., bis man ein Polynom minimalen Grades findet, das A als Nullstelle hat. Sind alle irreduziblen Faktoren von [mm] c_{A} [/mm] verschieden, so gilt also [mm] c_{A} [/mm] = [mm] m_{A}
[/mm]
Den schritt b.) kapier ich nicht ganz
Heißt dass z.b. wenn ich in [mm] (x-2)^{4} [/mm] für x A einsetze 0 rauskommen soll?
Kannst du mir diese Methode bitte für das eine Beispiel näher bringen?
mfg,
Hannes
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:45 Di 14.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Reaper!
Für das charakteristische Polynom [mm] $p_A$ [/mm] der Matrix $A$ gilt ja:
[mm] $P_A(t) [/mm] = [mm] (t-2)^4$.
[/mm]
Da das Minimalpolynom die gleichen irreduziblen Teiler wie das charakteristische Polynom besitzt, kommen für das Minimalpolynom [mm] $m_A$ [/mm] die folgenden vier Polynome in Frage:
[mm] $p_1(t)= [/mm] t-2$, [mm] $p_2(t)= (t-2)^2$, $p_3(t)= (t-2)^3$, $p_4(t)= (t-2)^4$.
[/mm]
Jetzt fängst du mit dem Polynom vom niedrigsten Grad an und schaust, ob die Nullmatrix rauskommt, wenn du $A$ einsetzt. Es gilt aber:
$A - [mm] 2E_4 [/mm] = [mm] \pmat{ -1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 & 1} \ne \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0}$.
[/mm]
Daher ist $p(t)=t-2$ schon einmal nicht das Minimalpolynom. Jetzt schauen wir, ob denn [mm] $p_2(A)=0$ [/mm] gilt.
Wir haben:
[mm] $p_2(A) [/mm] = [mm] (A-2E_4)^2 [/mm] =(A- [mm] 2E_4) \cdot (A-2E_4) [/mm] = [mm] \pmat{ -1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 & 1} \cdot \pmat{ -1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 & 1} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0}$,
[/mm]
d.h. [mm] $p_2(t)=(t-2)^2$ [/mm] ist das Minimalpolynom der Matrix $A$.
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:05 Di 14.06.2005 | | Autor: | Reaper |
Danke....gar nicht mal so schwer...
mfg,
Hannes
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