www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Englisch
  Status Grammatik
  Status Lektüre
  Status Korrekturlesen
  Status Übersetzung
  Status Sonstiges (Englisch)

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Gruppe, Ring, Körper" - Minimalpolynom
Minimalpolynom < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Minimalpolynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:52 So 20.02.2011
Autor: dr_geissler

Aufgabe
Sei [mm] $K=\IF_3$, $L=\IF_3[x]/\langle x^3-x+1\rangle$ [/mm] und [mm] $a=\overline{x}^2+\overline{x}+1\in [/mm] L$.
Bestimmen Sie das Minimalpolynom von $a$ über $K$.

ich hab jetzt alle reduziblen und irreduziblen Polynome bis Grad 3 rausgeschrieben.

In meiner Lösung steht jetzt

[mm] $a^0=1$ [/mm]
[mm] $a^1=\overline{x}^2+\overline{x}+1$ [/mm]
[mm] $a^2=\overline{x}^2+2$ [/mm]
[mm] $a^3=\overline{x}+2\overline{x}+1 [/mm]

Das sind meine Nullstellen vom Grad2
Aber wie komme ich darauf?

Wie es weiter geht weiß ich. Ich rechne den Kern von [mm] \vektor{a^0 \\ a^1 \\a^2\\a^3} [/mm] aus und stelle mein Minimalpolynom zusammen. Aber warum [mm] a^n [/mm] genau dass ist, was es ist versteh ich nicht.

Kann mir da jemand helfen?
Danke.


        
Bezug
Minimalpolynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:22 Mo 21.02.2011
Autor: statler

Hi!

> Sei [mm]K=\IF_3[/mm], [mm]L=\IF_3[x]/\langle x^3-x+1\rangle[/mm] und
> [mm]a=\overline{x}^2+\overline{x}+1\in L[/mm].
>  Bestimmen Sie das
> Minimalpolynom von [mm]a[/mm] über [mm]K[/mm].
>  ich hab jetzt alle reduziblen und irreduziblen Polynome
> bis Grad 3 rausgeschrieben.
>  
> In meiner Lösung steht jetzt
>  
> [mm]a^0=1[/mm]
>  [mm]a^1=\overline{x}^2+\overline{x}+1[/mm]
>  [mm]a^2=\overline{x}^2+2[/mm]
>  [mm]$a^3=\overline{x}+2\overline{x}+1[/mm]

Richtig ist: [mm]$a^3=\overline{x}^2+2\overline{x}+1[/mm]

> Das sind meine Nullstellen vom Grad2

Das sind die ersten Potenzen von a.

> Aber wie komme ich darauf?

Indem du sie ausrechnest und [mm] \overline{x}^3 [/mm] = [mm] \overline{x} [/mm] - 1 benutzt.

> Wie es weiter geht weiß ich. Ich rechne den Kern von
> [mm]\vektor{a^0 \\ a^1 \\a^2\\a^3}[/mm] aus und stelle mein
> Minimalpolynom zusammen. Aber warum [mm]a^n[/mm] genau dass ist, was
> es ist versteh ich nicht.
>  

Da der Körper L vom Grad 3 ist, muß es eine lineare Abhängigkeit zwischen den Potenzen von a geben. Damit findest du ein Polynom mit der Nullstelle a. Ob das das Minimalpol. ist, prüfst du anschließend.

Gruß aus HH-Harburg
Dieter


Bezug
                
Bezug
Minimalpolynom: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 12:08 Mo 21.02.2011
Autor: dr_geissler

Ich hab es gerade versucht, aber ich komme tritzdem nicht drauf. Kann man mir mal eins vorrechnen?

Danke

Bezug
                        
Bezug
Minimalpolynom: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:25 Mo 21.02.2011
Autor: statler

Was genau vorrechnen?

Bezug
                                
Bezug
Minimalpolynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:25 Mo 21.02.2011
Autor: dr_geissler

[mm] a^2 [/mm] zum Beispiel.

Bezug
                                        
Bezug
Minimalpolynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:38 Mo 21.02.2011
Autor: statler

Na dann mal los:

Es ist [mm] \overline{x}^3 [/mm] = [mm] \overline{x} [/mm] - 1
und [mm] \overline{x}^4 [/mm] = [mm] \overline{x}\*\overline{x}^3 [/mm] = [mm] \overline{x}^2 [/mm] - [mm] \overline{x} [/mm]
und somit
[mm] a^2 [/mm] = [mm] \overline{x}^4 [/mm] + [mm] \overline{x}^2 [/mm] + 1 + [mm] 2\*\overline{x}^3 [/mm] + [mm] 2\*\overline{x}^2 [/mm] + [mm] 2\*\overline{x} [/mm]
= [mm] \overline{x}^2 [/mm] - [mm] \overline{x} [/mm] + [mm] \overline{x} [/mm] - 1 + [mm] 2\*\overline{x} [/mm] + 2
= [mm] \overline{x}^2 [/mm] + [mm] 2\*\overline{x} [/mm] + 1

= [mm] \overline{x}^2 [/mm] - [mm] \overline{x} [/mm] + 1 + [mm] 2\*\overline{x} [/mm] - 2 + [mm] 2\*\overline{x} [/mm]
= [mm] \overline{x}^2 [/mm] - 1 = [mm] \overline{x}^2 [/mm] + 2

Wo ist das Problem?

Gruß
Dieter

Bezug
                                                
Bezug
Minimalpolynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:43 Mo 21.02.2011
Autor: dr_geissler

Hier mal meine Rechnung:

[mm] $a^2=(\overline{x}^2+\overline{x}+1)*(\overline{x}^2+\overline{x}+1)$ [/mm]
[mm] $=(\overline{x}^4+2*\overline{x}^3+2*\overline{x}+1$ [/mm]

Also soweit ist noch alles gleich.
Aber jetzt:

[mm] $=\overline{x}^2-\overline{x}+2*\overline{x}-2+2*\overline{x}+1$ [/mm]
[mm] $=\overline{x}^2+2$ [/mm]

Was ist denn nun richtig??

Bezug
                                                        
Bezug
Minimalpolynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:53 Mo 21.02.2011
Autor: statler


> Hier mal meine Rechnung:
>  
> [mm]a^2=(\overline{x}^2+\overline{x}+1)*(\overline{x}^2+\overline{x}+1)[/mm]
>  [mm]=(\overline{x}^4+2*\overline{x}^3+2*\overline{x}+1[/mm]
>  
> Also soweit ist noch alles gleich.
>  Aber jetzt:
>  
> [mm]=\overline{x}^2-\overline{x}+2*\overline{x}-2+2*\overline{x}+1[/mm]
>  [mm]=\overline{x}^2+2[/mm]
>  
> Was ist denn nun richtig??

Deins, s. o. Ich hatte mich in der Zeile verheddert, sorry. Aber dann kannst du es doch, also ist das Problem wech.

Gruß
Dieter


Bezug
                                                                
Bezug
Minimalpolynom: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:55 Mo 21.02.2011
Autor: dr_geissler

Genau. Vielen Dank nochmal.

Und schöne Grüsse nach Hamburg.

Darf man zur Wahl gratulieren, oder eher nicht?

Bezug
                                                                        
Bezug
Minimalpolynom: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:10 Mo 21.02.2011
Autor: statler


> Darf man zur Wahl gratulieren, oder eher nicht?

Ich bin da relativ wertfrei. Aber es interessiert mich schon, wie der Olaf mit der Elbphilharmonie verfahren will. Und ob er seinen eigenen Hühnerhaufen zusammenhalten kann.

Es bleibt interessant.


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.englischraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]