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| Aufgabe | Gegeben ist die Matrix
[mm] A=\pmat{ 1 & 1 & -1 \\ -3 & -2 & 0 \\ 2 & 1 & 2}
[/mm]
Bestimmen Sie das Minimalpolynom |
Hallo an Alle
Also in den ersten beiden Aufgaben sollte ich alle reellen Eigenwerte und die dazugehörigen Eigenräume bestimmen.
Als einziger reeller Eigenwert kommt x=1 raus (die anderen Lösungen sind i und -i)
Das charakteristische Polynom lautet wie folgt:
[mm] f_A=x^3-x^2+x-1
[/mm]
Nach Cayley-Hamilton gilt ja: [mm] A^3-A^2+A-1Id=0
[/mm]
Ist das charakteristische Polynom denn immer das Minimalpolynom, wenn man komplexe Eigenwerte hat.
Denn ich kann das char. Polynom nur als [mm] (x-1)(-x^2-1) [/mm] faktorisieren und weiss jetzt auch nicht, welche anderen Möglichkeiten es für ein Minimalpolynom geben könnte.
Könnten die unten aufgelisteten Polynome denn weitere Kandidaten für das Minimalpolynom sein. (wobei bei beiden nicht =0 rauskommt)
1. [mm] m_A=x-1
[/mm]
2. [mm] m_A=-x^2-1
[/mm]
Vielen Dank!
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Hallo JohannaM03,
> Gegeben ist die Matrix
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> [mm]A=\pmat{ 1 & 1 & -1 \\ -3 & -2 & 0 \\ 2 & 1 & 2}[/mm]
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> Bestimmen Sie das Minimalpolynom
> Hallo an Alle
>
> Also in den ersten beiden Aufgaben sollte ich alle reellen
> Eigenwerte und die dazugehörigen Eigenräume bestimmen.
>
> Als einziger reeller Eigenwert kommt x=1 raus (die anderen
> Lösungen sind i und -i)
>
> Das charakteristische Polynom lautet wie folgt:
> [mm]f_A=x^3-x^2+x-1[/mm]
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> Nach Cayley-Hamilton gilt ja: [mm]A^3-A^2+A-1Id=0[/mm]
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> Ist das charakteristische Polynom denn immer das
> Minimalpolynom, wenn man komplexe Eigenwerte hat.
>
Ja.
Das Minimalpolynom muß dieselben Nullstellen haben
wie das charakteristische Polynom.
Da hier alle Nullstellen des charakteristischen Polynoms
einfach vorkommen, entspricht das charakteristische Polynom
dem Minimalpolynom.
> Denn ich kann das char. Polynom nur als [mm](x-1)(-x^2-1)[/mm]
> faktorisieren und weiss jetzt auch nicht, welche anderen
> Möglichkeiten es für ein Minimalpolynom geben könnte.
>
> Könnten die unten aufgelisteten Polynome denn weitere
> Kandidaten für das Minimalpolynom sein. (wobei bei beiden
> nicht =0 rauskommt)
> 1. [mm]m_A=x-1[/mm]
> 2. [mm]m_A=-x^2-1[/mm]
>
> Vielen Dank!
Gruss
MathePower
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