Minimalpolynom Zerlegung < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:21 Mi 04.05.2011 | | Autor: | pyw |
| Aufgabe | Beweise: Falls das Minimalpolynom [mm] m_T [/mm] von T eine Zerlegung [mm] m_T [/mm] = g · h mit
ggT(g, h) = 1 besitzt, dann gelten die folgenden Aussagen:
1. V = ker g(T ) [mm] \oplus [/mm] ker h(T ) =: U1 [mm] \oplus [/mm] U2
Man findet die Aufgabenstellung auch unter folgendem ![[]](/images/popup.gif) Link, Aufgabe 3. |
Hallo,
ich habe leider wenig Ideen.
Aus ggT(g,h)=1 folgt ja, dass es Polynome r und s gibt mit rg+sh=1
Vielleicht hilft es, wenn ich die Gleichung mit h multipliziere:
[mm] rgh+sh^2=h \Rightarrow s(T)h(T)^2=h(T), [/mm] denn [mm] h(T)g(T)=m_T(T)=0
[/mm]
Weiterhin [mm] s(T)h(T)^2=h(T) \gdw [/mm] s(T)h(T)(h(T)-1)=0.
Aber wahrscheinlich ist das nicht sehr hilfreich.
Bitte um Hilfe + einen Denkanstoß.
Danke!
mfg, pyw
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:11 Do 05.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Beweise: Falls das Minimalpolynom [mm]m_T[/mm] von T eine Zerlegung
> [mm]m_T[/mm] = g · h mit
> ggT(g, h) = 1 besitzt, dann gelten die folgenden
> Aussagen:
> 1. V = ker g(T ) [mm]\oplus[/mm] ker h(T ) =: U1 [mm]\oplus[/mm] U2
>
> Man findet die Aufgabenstellung auch unter folgendem
> Link,
> Aufgabe 3.
> Hallo,
>
> ich habe leider wenig Ideen.
>
> Aus ggT(g,h)=1 folgt ja, dass es Polynome r und s gibt mit
> rg+sh=1
>
> Vielleicht hilft es, wenn ich die Gleichung mit h
> multipliziere:
> [mm]rgh+sh^2=h \Rightarrow s(T)h(T)^2=h(T),[/mm] denn
> [mm]h(T)g(T)=m_T(T)=0[/mm]
>
> Weiterhin [mm]s(T)h(T)^2=h(T) \gdw[/mm] s(T)h(T)(h(T)-1)=0.
> Aber wahrscheinlich ist das nicht sehr hilfreich.
>
> Bitte um Hilfe + einen Denkanstoß.
Du hast:
(1) x=r(T)g(T)x+s(T)h(T)x
und
(2) g(T)h(T)x =0=h(T)g(T)x
für jedes x [mm] \inV
[/mm]
Dann r(T)g(T)x [mm] \in [/mm] kern(h(T)) und s(T)h(T)x [mm] \in [/mm] kern (g(T))
Aus (1): V = ker g(T ) $+ $ ker h(T )
Jetzt zeig du, dass obige Summe direkt ist.
FRED
>
> Danke!
>
>
>
> mfg, pyw
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:32 Sa 07.05.2011 | | Autor: | pyw |
Hallo,
> Du hast:
>
> (1) x=r(T)g(T)x+s(T)h(T)x
>
> und
>
> (2) g(T)h(T)x =0=h(T)g(T)x
>
>
>
> für jedes x [mm]\inV[/mm]
>
> Dann r(T)g(T)x [mm]\in[/mm] kern(h(T)) und s(T)h(T)x [mm]\in[/mm] kern
> (g(T))
>
> Aus (1): V = ker g(T ) [mm]+[/mm] ker h(T )
>
> Jetzt zeig du, dass obige Summe direkt ist.
ok, danke!
Summe direkt: Weil ker g(T) [mm] \cap [/mm] ker [mm] f(T)=\{0\}, [/mm] denn wäre [mm] 0\neq x\in [/mm] ker f(t), ker g(T), dann r(T)g(T)x+s(T)h(T)x=0 ein Widerspruch zu (1)
mfg,pyw
|
|
|
|
