Minimalpolynom bestimmen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:34 Do 21.02.2013 | | Autor: | fl0nk |
Hallo,
ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe.
Sei [mm] K=\IF_{2} /
[/mm]
Sei [mm] b=\overline{x^{2}+x}. [/mm] Bestimmen Sie das Minimalpolynom von b.
Also das Minimalpolynom ist ja das normierte Polynom kleinsten Grades, das b als Nullstelle hat.
Nur wie kann ich jetzt vorgehen um dieses zu bestimmen?
Einfach alle möglichen Polynome in [mm] \IF_{2} [/mm] aufstellen und hoffen, das beim einstetzen von b 0 herauskommt? Oder gibts da ne andere Möglichkeit?
Über Hilfe wäre ich sehr erfreut :)
P.S.: Mal noch ne Frage am Rande, der Körper ist ja isomorph zu [mm] \IF_{8} [/mm] oder?
Da das Polynom irreduzibel in [mm] \IF_{2} [/mm] ist gilt da dann, dass der Körper isomorph zu [mm] \IF_{2^{r}} [/mm] ist mit r ist Grad des irreduziblen Polynoms.
Stimmt das?
Und die Unterkörper von [mm] \IF_{2^{3}} [/mm] wären doch dann nur [mm] \IF_{1}, \IF_{2} [/mm] oder?
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Hallo,
um das Min.pol zu bestimmen geht man wie sonst auch vor:
b solange potenzieren bis man einen polynomiellen zusammenhang sieht.
Das geht hier sehr schnell.
Das K (mit einem zusätzlichen [x]) ist isomorph zu [mm] $\mathbb F_8$.
[/mm]
Da [mm] $2^3=8$ [/mm] und 3 prim ist sind die einzigen Unterkörper [mm] $\mathbb F_2$ [/mm] und [mm] $\mathbb F_8$.
[/mm]
Einen Körper mit einem Element gibt es in der momentanen Körpertheorie nicht, auch wenn es einige gern anders hätten:
https://en.wikipedia.org/wiki/Field_with_one_element
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 Do 21.02.2013 | | Autor: | fl0nk |
Danke für deine Antwort :)
Ich habe noch ein bisschen rumgerechnet und gesucht.
Dadurch bin ich letztendlich darauf gekommen, dass x³+x+1 das Minimalpolynom ist.
Stimmt das?
Wenn ja, sollte man immer erst versuchen das Element in die irreduziblen Polynome einzusetzen? (Hab im Netz gefunden, das Minimalpolynome über dem Grundkörper irreduzibel sind)
Hier ist es ja auch gerade der Fall, dass (sofern es stimmt) das "herausgeteilte" Polynom x³+x+1 das Minimalpolynom ist.
Sollte man dieses "herausgeteilte" Polynom auch immer als eines der ersten in Betracht ziehen?
Und was meinst du mit solange potenzoieren bis man einen Zusammenhang sieht? Da kann ich dir nicht folgen...
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Jetzt kommen wir in Blödsinn rein.
x³+x+1 hat b nicht als Nullstelle.
Das wäre hier z.B. das Min.Pol von x über [mm] $\mathhbb F_2$, [/mm] danach ist aber nicht gerfragt .
Du brauchst ein Polynom (in X oder T, da die Bezeichnung x hier bereits verbraten ist) das b als NST hat. Außerdem kann hier x als Koeffizient des Minimalpolynoms auftauchen.
Wenn man sukzessive b²,b³,... bildet geht einem i.d.R. ein Licht für einen Zusammenhang für etwa b³+...=0 auf.
Das meine ich mit Potenzieren bis man was sieht.
Wie gehst du denn bei Min.pol. über den rationalen Zahlen vor?
> Sollte man dieses "herausgeteilte" Polynom auch immer als
> eines der ersten in Betracht ziehen?
>
Das sollte man praktisch nie in Betracht ziehen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:45 Do 21.02.2013 | | Autor: | fl0nk |
Das Problem das ich hier habe, ist dass b bei mehrfachem multplizieren recht hohe Potenzen annimmt.
Und in diesem Körper gibt es doch nur Polynome bis zum zweiten Grad oder?
b² wäre doch z.B. [mm] x^{4}+2x+x^{2}=x^{4}+x^{2} [/mm] oder?
Ich weiß mir da irgendwie nicht zu helfen...
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Beachte den Quotienten:
Es ist z.B. [mm] $x^4=x^2+x$
[/mm]
Die Potenzen von x können immer zu welchen kleiner-gleich 3 reduziert werden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:08 Do 21.02.2013 | | Autor: | fl0nk |
Ok, dann wären
[mm] b^{0}=1
[/mm]
[mm] b^{1}=x^{2}+x
[/mm]
[mm] b^{2}=x
[/mm]
[mm] b^{3}=x^{2}
[/mm]
Dann kann ich aus
[mm] b^{3}+b^{2}+b [/mm] ja 0 konstruieren.
Soweit ok?
Aber wie ich das jetz in ein Polynom verpacke....
Oder wäre das Polynom einfach:
[mm] f(a)=a^{3}+a^{2}+a [/mm] ?
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> Ok, dann wären
>
> [mm]b^{0}=1[/mm]
> [mm]b^{1}=x^{2}+x[/mm]
> [mm]b^{2}=x[/mm]
> [mm]b^{3}=x^{2}[/mm]
>
Bei b³ stimme ich nicht mehr zu.
Aber das ist auch unnötig da bereits b² für das Min.Pol. ausreicht.
Ich erinnere nochmal daran, dass $x [mm] \in \mathbb F_8$
[/mm]
> Dann kann ich aus
> [mm]b^{3}+b^{2}+b[/mm] ja 0 konstruieren.
>
> Soweit ok?
also b³+b²+b=0?
Das entsprechende Polynom T³+T²+T ist aber offensichtlich reduzibel, kann als noch vereinfacht werden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:24 Do 21.02.2013 | | Autor: | fl0nk |
Ok, bei b³ hab ich zu schnell geschrieben, da hab ich unsinniger Weise nochmal b quadriert.
Aber ich seh immer noch nicht, warum b² schon für das Minimalpolynom ausreicht und was x [mm] \in \IF_{8} [/mm] dabei für eine Rolle spielt.
Gelten muss es doch für alle x aus [mm] \IF_{8}?
[/mm]
Ich steh da echt etwas auf dem Schlauch...
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x ist hier ein spezielles Element des Körpers, keine Variable.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:37 Do 21.02.2013 | | Autor: | fl0nk |
Ok, also
die Körperelemente wären ja
0, 1, x, x+1, x², x²+1, x²+x, x²+x+1
oder?
Und wie helfen mir diese nun weiter?
Muss eines der Elemente irgendwo eingesetzt werden, um zu prüfen ob 0 dabei herauskommt?
/Edit:
Vergiss das, das war total unnötig^^
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(Frage) überfällig | | Datum: | 22:19 Do 21.02.2013 | | Autor: | fl0nk |
Wenn x ja ein Element aus dem Körper ist und du gesagt hast b² reicht aus um das Minimalpolynom darzustellen, dann müsste doch
m*b²+n*b+z=0 eine Lösung haben oder?
Das wäre ja
m*x+n*(x²+x)+z=0 und m muss ja 1 sein, da das Min.poly. doch normiert ist oder?
Passt das?
Wenn ja seh ich da aber keine Lösung, da ich es ja nicht schaffe das x² und x gleichzeitig wegfallen...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Sa 23.02.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Sa 23.02.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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