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| Aufgabe | Sei a eine positive reelle Zahl und [mm] s_{x} [/mm] , [mm] s_{y} \in \IR.
[/mm]
Ferner sei f: [mm] \IR \to \IR [/mm] mit f(x)=a(x- [mm] s_{x} )^{2} [/mm] + [mm] s_{y} [/mm] die Gleichung einer quadratischen Funktion mit Scheitelpunkt S=( [mm] s_{x} [/mm] , [mm] s_{y} [/mm] ).
a) Zeigen sie: Für alle x aus [mm] \IR [/mm] gilt f: ( [mm] s_{x} [/mm] ) [mm] \le [/mm] f(x). Somit ist [mm] s_{x} [/mm] eine Minimalstelle von f und f( [mm] s_{x} [/mm] ) Minimum von f.
b) Nun werde für [mm] x_{1} [/mm] , ... , [mm] x_{n} \in \IR [/mm] die Funktion g: [mm] \IR \to \IR [/mm] mit g(x)= [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] ( [mm] x_{i} -x)^2 [/mm] betrachtet. Zeigen sie mit a), dass g minimal wird für [mm] \overline{x} [/mm] := [mm] \bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} x_{i}.
[/mm]
c) Zeigen Sie die Aussage unter b) mit den Mitteln aus dem Mathematikunterricht (Maxima/Minima). |
Ich besuche dieses Semester eine Vorlesung in Wahrsheinlichkeitsrechnung, bislang haben wir uns mit der beschreibenden Statistik auseinandergesetzt. Mir ist nun nicht klar, was diese Aufgabe damit zu tun hat und ich habe keine Ahnung, was ich damit machen soll, da ich - wie in Aufgabenteil c) gefordert - so etwas auch nicht in der Schule gesehen habe. Wie gehe ich an diese Aufgabe heran? Könnt Ihr mir einen Ansatz geben?
Danke schonmal für eure Mühe.
Knuddelbunti
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:41 Di 21.04.2009 | | Autor: | abakus |
> Sei a eine positive reelle Zahl und [mm]s_{x}[/mm] , [mm]s_{y} \in \IR.[/mm]
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> Ferner sei f: [mm]\IR \to \IR[/mm] mit f(x)=a(x- [mm]s_{x} )^{2}[/mm] +
> [mm]s_{y}[/mm] die Gleichung einer quadratischen Funktion mit
> Scheitelpunkt S=( [mm]s_{x}[/mm] , [mm]s_{y}[/mm] ).
>
> a) Zeigen sie: Für alle x aus [mm]\IR[/mm] gilt f: ( [mm]s_{x}[/mm] ) [mm]\le[/mm]
> f(x).
Das würde auf gut deutsch bedeuten: Die x-Koordinate des Scheitelpunkts ist kleiner als jede y-Koordinate (und damit auch kleiner als die y-Koordinate des Scheitelpunkts.
Eine solche Einschränkung für die Lage des Scheitelpunkts finde ich in deinen Voraussetzungen nicht.
Gruß Abakus
> Somit ist [mm]s_{x}[/mm] eine Minimalstelle von f und f( [mm]s_{x}[/mm]
> ) Minimum von f.
>
> b) Nun werde für [mm]x_{1}[/mm] , ... , [mm]x_{n} \in \IR[/mm] die Funktion
> g: [mm]\IR \to \IR[/mm] mit g(x)= [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] ( [mm]x_{i} -x)^2[/mm]
> betrachtet. Zeigen sie mit a), dass g minimal wird für
> [mm]\overline{x}[/mm] := [mm]\bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} x_{i}.[/mm]
>
> c) Zeigen Sie die Aussage unter b) mit den Mitteln aus dem
> Mathematikunterricht (Maxima/Minima).
> Ich besuche dieses Semester eine Vorlesung in
> Wahrsheinlichkeitsrechnung, bislang haben wir uns mit der
> beschreibenden Statistik auseinandergesetzt. Mir ist nun
> nicht klar, was diese Aufgabe damit zu tun hat und ich habe
> keine Ahnung, was ich damit machen soll, da ich - wie in
> Aufgabenteil c) gefordert - so etwas auch nicht in der
> Schule gesehen habe. Wie gehe ich an diese Aufgabe heran?
> Könnt Ihr mir einen Ansatz geben?
> Danke schonmal für eure Mühe.
> Knuddelbunti
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:43 Mi 22.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Sei a eine positive reelle Zahl und [mm]s_{x}[/mm] , [mm]s_{y} \in \IR.[/mm]
>
> Ferner sei f: [mm]\IR \to \IR[/mm] mit f(x)=a(x- [mm]s_{x} )^{2}[/mm] +
> [mm]s_{y}[/mm] die Gleichung einer quadratischen Funktion mit
> Scheitelpunkt S=( [mm]s_{x}[/mm] , [mm]s_{y}[/mm] ).
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> a) Zeigen sie: Für alle x aus [mm]\IR[/mm] gilt f: ( [mm]s_{x}[/mm] ) [mm]\le[/mm] f(x)
ich hoffe du hast dich verschrieben und du hast in Wirklichkeit die Beh.
[mm] f(s_x)\le [/mm] f(x)
> . Somit ist [mm]s_{x}[/mm] eine Minimalstelle von f und f( [mm]s_{x}[/mm]
> ) Minimum von f.
>
> b) Nun werde für [mm]x_{1}[/mm] , ... , [mm]x_{n} \in \IR[/mm] die Funktion
> g: [mm]\IR \to \IR[/mm] mit g(x)= [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] ( [mm]x_{i} -x)^2[/mm]
> betrachtet. Zeigen sie mit a), dass g minimal wird für
> [mm]\overline{x}[/mm] := [mm]\bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} x_{i}.[/mm]
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> c) Zeigen Sie die Aussage unter b) mit den Mitteln aus dem
> Mathematikunterricht (Maxima/Minima).
> Ich besuche dieses Semester eine Vorlesung in
> Wahrsheinlichkeitsrechnung, bislang haben wir uns mit der
> beschreibenden Statistik auseinandergesetzt. Mir ist nun
> nicht klar, was diese Aufgabe damit zu tun hat und ich habe
> keine Ahnung, was ich damit machen soll, da ich - wie in
> Aufgabenteil c) gefordert - so etwas auch nicht in der
> Schule gesehen habe. Wie gehe ich an diese Aufgabe heran?
> Könnt Ihr mir einen Ansatz geben?
a) sollte doch wohl klar sein, denn [mm] (x-s_x)^2>0 [/mm] fuer alle [mm] x\ne s_x.
[/mm]
b) sollst du mit diesem ergebnis angehen
c) Minimum von g(x) findet man durch Ableiten von g(x) und g'(x)=0
Die summe ableiten, indem du die einzelnen Summanden ableitest sollte nicht zu schwer sein. dann Null setzen. damit es ein Min ist muss noch g''(x)>0 sein.
Gruss leduart
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