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Forum "Uni-Analysis-Sonstiges" - Minimierungsproblem
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Minimierungsproblem: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:26 So 08.11.2015
Autor: Martin_Ph

Aufgabe
Es seien [mm] A\in\IR^{m\times n} [/mm] und [mm] b\in\IR^{m} [/mm] mit n>m und rank(A)=n gegeben. Zeigen Sie:
Wenn das Minimierungsproblem min [mm] ||Ax-b||^2 [/mm]
eine eindeutige Lösung x* [mm] \in\IR^{n} [/mm] besitzt, so erfüllt diese die Normalangleichung [mm] A^{T}Ax* [/mm] = [mm] A^{T}b [/mm] .

Gilt auch die Umkehrung?

Hinweis: Aus dem ersten Semester ist für [mm] v\in\IR^{n} [/mm] die Beziehung [mm] ||v||^2 [/mm] = <v,v> bekannt. Verwenden Sie zudem das hinreichende Optimalitätskriterium

Frage ist nun wie ich hier vorzugehen hab. Komm nicht wirklich weit.

Das hinreichende Kriterium lautet ja: [mm] x_{0} [/mm] sei ein stationärer Punkt und f besitze in einer Umgebung [mm] U(x_{0}) [/mm] stetige partielle Ableitungen 2. Ordnung nach allen Variablen. Die Matrix H=... heißt Hesse-Matrix von f

Wie muss ich hier ansetzen?

Würde es evtl so versuchen:

Es gelte das hinreichende Optimalitätskriterium

[mm] A^{T}Ax* [/mm] = [mm] A^{T}b [/mm] = H // also [mm] A^{T}b [/mm] ist Hesse-Matrix

Dann weiß ich allerdings auch schon nicht mehr weiter

Weiß leider nicht was ich mit dem Skalarprodukt anfangen soll



        
Bezug
Minimierungsproblem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:10 Mo 09.11.2015
Autor: fred97

Für [mm] x=(x_1,...,x_n) \in \IR^n [/mm] setze

   [mm] f(x)=||Ax-b||^2. [/mm]

Nutze zunächst den Hinweis: $f(x)=<Ax-b,Ax-b>$

Bestimme nun die partiellen Ableitungen [mm] f_{x_1},..., f_{x_n} [/mm] und setze diese =0.

Das führt auf das Gleichungssystem

   $A^TAx=A^Tb$.

FRED

Bezug
                
Bezug
Minimierungsproblem: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:00 Mi 11.11.2015
Autor: Martin_Ph

Danke für den guten tip konnte es damit lösen :)

Bezug
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