Minimierungsproblem < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei [mm] x_1,...,x_n\in \IR^r [/mm] , [mm] C\in\IR^{r\times r} [/mm] und [mm] \mu\in\IR^r [/mm] |
Hallo zusammen,
möchte man den Ausdruck
[mm] \sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^TC(x_i-\mu)=\sum_{i=1}^n(x_i-\hat x)^TC(x_i-\hat x)+n(\hat{x}-\mu)^TC(\hat{x}-\mu)
[/mm]
für [mm] \mu [/mm] minimieren erhält man [mm] \mu=\hat{x} [/mm] weil [mm] (\hat x-\mu)^TC(\hat x-\mu) [/mm] dadurch minimal ist.
Jetzt würde ich gerne einmal den Ausdruck
[1] [mm] -\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^TC(x_i-\mu)=-\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^r c_{ij}\sum_{k=1}^n(x_{ik}-\mu_i)(x_{jk}-\mu_j) [/mm] ableiten, null setzen und auf die Gleichung [mm] \hat{x}=\mu [/mm] kommen, leider gelingt mir das nicht.
Angenommen ich leite nach [mm] \mu_i [/mm] für i=1 ab:
[mm] -\frac{1}{2}\sum_{j=1}^r c_{1j}(\sum_{k=1}^nx_{1k})+n\mu_j=0
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:50 Fr 21.06.2013 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei [mm]x_1,...,x_n\in \IR^r[/mm] , [mm]C\in\IR^{r\times r}[/mm] und
> [mm]\mu\in\IR^r[/mm]
>
>
> Hallo zusammen,
>
> möchte man den Ausdruck
> [mm]\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^TC(x_i-\mu)=\sum_{i=1}^n(x_i-\hat x)^TC(x_i-\hat x)+n(\hat{x}-\mu)^TC(\hat{x}-\mu)[/mm]
>
> für [mm]\mu[/mm] minimieren erhält man [mm]\mu=\hat{x}[/mm] weil [mm](\hat x-\mu)^TC(\hat x-\mu)[/mm]
> dadurch minimal ist.
Wobei $C$ o.B.d.A. als symmetrisch angenommen werden kann.
> Jetzt würde ich gerne einmal den Ausdruck
> [1]
> [mm]-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^TC(x_i-\mu)=-\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^r c_{ij}\sum_{k=1}^n(x_{ik}-\mu_i)(x_{jk}-\mu_j)[/mm]
Ich glaube, du hast dich selbst durch deine Indizes verwirrt. So, wie du es schreibst, müsste $x_ik$ die i-te Komponente von [mm] $x_k$ [/mm] sein.
Besser, du wechselst nicht zwischendurch die Summationsindizes
[mm]-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^TC(x_i-\mu)=-\frac{1}{2}\sum_{\red{j,k}=1}^r c_{jk}\sum_{\red{i}=1}^n((x_i)_j-\mu_j)((x_i)_k-\mu_k)[/mm]
[mm] ((x_i)_1-\mu_1)
[/mm]
> ableiten, null setzen und auf die Gleichung [mm]\hat{x}=\mu[/mm]
> kommen, leider gelingt mir das nicht.
>
> Angenommen ich leite nach [mm]\mu_i[/mm] für i=1 ab:
> [mm]-\frac{1}{2}\sum_{j=1}^r c_{1j}(\sum_{k=1}^nx_{1k})+n\mu_j=0[/mm]
[mm] $\mu_1$ [/mm] kommt einmal quadratisch vor, für $j=k=1$, dann linear, für $j=1$, [mm] $k\not=1$ [/mm] und [mm] $j\not=1$, [/mm] $k=1$. Wenn du das auseinanderziehst, hast du
[mm] \sum_{j,k=1}^r c_{jk}\sum_{i=1}^n((x_i)_j-\mu_j)((x_i)_k-\mu_k)[/mm]
[mm] = c_{11} \sum_{i=1}^n ((x_i)_1-\mu_1)((x_i)_1-\mu_1)[/mm]
[mm] + \sum_{k=2}^r c_{1k}\sum_{i=1}^n((x_i)_1-\mu_1)((x_i)_k-\mu_k)[/mm]
[mm] + \sum_{j=2}^r c_{j1}\sum_{i=1}^n((x_i)_j-\mu_j)((x_i)_1-\mu_1)[/mm]
[mm] + \sum_{j,k=2}^r c_{jk}\sum_{i=1}^n((x_i)_j-\mu_j)((x_i)_k-\mu_k) [/mm] .
Nach [mm] $\mu_1$ [/mm] abgeleitet ergibt sich
[mm]-2c_{11} \sum_{i=1}^n((x_i)_1-\mu_1) [/mm]
[mm] - \sum_{k=2}^r c_{1k} \sum_{i=1}^n ((x_i)_k-\mu_k)[/mm]
[mm] - \sum_{j=2}^r c_{j1}\sum_{i=1}^n((x_i)_j-\mu_j)[/mm] .
Da $C$ symmetrisch ist, ist stimmen der zweite und dritte Summand überein, also ist dies
[mm]-2c_{11} \sum_{i=1}^n((x_i)_1-\mu_1) - 2\sum_{k=2}^r c_{1k} \sum_{i=1}^n ((x_i)_k-\mu_k)[/mm]
= [mm] -2 \sum_{k=1}^r c_{1k} \sum_{i=1}^n ((x_i)_k-\mu_k)[/mm]
Wenn du die Ableitung für alle [mm] $\mu_l$ [/mm] machst und gleich Null setzt, kommst du auf
[mm] -2 \sum_{k=1}^r c_{lk} \sum_{i=1}^n ((x_i)_k-\mu_k) =0 [/mm] für alle $l$ , oder in Vektorschreibweise:
[mm] C(x_i-\mu) =0[/mm] .
Sofern die $C$ nicht die Determinante 0 hat, folgt daraus [mm] $(x_i-\mu) [/mm] =0 $ .
Viele Grüße
Rainer
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