Minimierungsproblem einer Funk < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:41 Di 24.05.2005 | | Autor: | sachmeth |
Sehe mich eines unlösbaren Problems konfrontiert:
Seien [mm] (a_{1},b_{1}),...,(a_{n},b_{n}) [/mm] Messwertpaare.
Gesucht werden c,d aus [mm] \IR [/mm] derart, dass für g(a)=ac+d der Ausdruck
[mm] \summe_{i=1}^{n} |b_{i}-g(a_{i})|² [/mm] minimal wird.
Vorgehen: Wandle das Problem zunächst in ein Minimierungsproblem einer Funktion F:= [mm] \IR ²->\IR [/mm] ,(c,d)-> F(c,d) um.
Bitte erläutert und erklärt mir ganz ganz genau was ihr da macht, lieber zu viel als zu wenig!! Merci!
Sachmeth
Ich habe diese Frage nur auf diesen einen Forum gestellt.
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Hallo sachmeth,
> Seien [mm](a_{1},b_{1}),...,(a_{n},b_{n})[/mm] Messwertpaare.
> Gesucht werden c,d aus [mm]\IR[/mm] derart, dass für g(a)=ac+d der
> Ausdruck
> [mm]\summe_{i=1}^{n} |b_{i}-g(a_{i})|²[/mm] minimal wird.
Zunächst läßt sich der Ausdruck etwas anders schreiben:
[mm]\sum\limits_{i = 1}^{n} {\left| {b_{i} \; - \;g\left( {a_{i} } \right)} \right|^{2} \; = \;} \sum\limits_{i = 1}^{n} {\left| {b_{i} \; - \;c\;a_{i} \; - \;d} \right|^{2} } \; = \;\sum\limits_{i = 1}^{n} {\left( {b_{i} \; - \;c\;a_{i} \; - \;d} \right)^{2} } = F\left( {c,\;d} \right)[/mm]
Das ist jetzt die Funktion F(c,d) die minimiert werden soll. Nun um ein Minimum der Funktion zu finden müssen die partiellen Ableitungen [mm]
\frac{{\delta F}}{{\delta c}}[/mm] und [mm]\frac{{\delta F}}{{\delta d}}[/mm] verschwinden:
[mm]\begin{array}{l}
\frac{{\delta F}}{{\delta c}}\;\; = \; - 2\;\sum\limits_{i = 1}^{n} {a_{i} \left( {b_{i} \; - \;c\;a_{i} \; - \;d} \right)} \; = \;0 \\
\frac{{\delta F}}{{\delta d}}\;\; = \; - 2\;\sum\limits_{i = 1}^{n} {\left( {b_{i} \; - \;c\;a_{i} \; - \;d} \right)} \; = \;0 \\
\end{array}[/mm]
>
> Vorgehen: Wandle das Problem zunächst in ein
> Minimierungsproblem einer Funktion F:= [mm]\IR ²->\IR[/mm]
> ,(c,d)-> F(c,d) um.
Nach ein bischen Umformarbeit entstehen folgende Gleichungen:
[mm]\sum\limits_{i = 1}^{n} {a_{i} \;b_{i} } \; = \;c\;\sum\limits_{i = 1}^{n} {a_{i}^{2} } \; + \;d\;\sum\limits_{i = 1}^{n} {a_{i} }[/mm]
[mm]\sum\limits_{i = 1}^{n} {b_{i} } \; = \;c\;\sum\limits_{i = 1}^{n} {a_{i} } \; + \;d\;n[/mm]
Aus diesen beiden Gleichungen sind die Unbekannten c und d zu ermitteln.
Da g eine lineare Funktion ist, nennt man das auch lineare Regression.
Die Methode die da angewendet wird, ist die Methode "Summe der kleinsten Quadrate".
Gruß
MathePower
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