Minimum für Summe < Statistik (Anwend.) < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:45 Sa 11.07.2009 | | Autor: | xPae |
| Aufgabe | Gegeben sind die Werte x1, x2, . . . , xn x [mm] \varepsilon [/mm] R. Für welche Werte von x [mm] \varepsilon [/mm] R nimmt die Funktion:
[mm] f(\lambda)=\bruch{1}{n}*\summe_{i=1}^{n}(x_{i}-\lambda)^{2}
[/mm]
minimale Werte an? Interpretieren Sie das Ergebnis. |
Moin,
komme leider hier nicht so wirklich voran, obwohl es mir zunächst einfach erschien,denn:
Die Summe wird ja minimal, wenn [mm] \lambda [/mm] und jedes [mm] x_{i} [/mm] gleich wären, also Null. Aber da hier eine Funktion gegeben ist, denk da eher an Ableiten :)
Müsste ich jetzt einfach von : [mm] (x_{i}-\lambda)^{2} [/mm] das Minimum suchen?
Das müsste ja dann [mm] \lambda=x_{i} [/mm] , aber iwie sinnlos xD
LG und Danke
xPae
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:02 Sa 11.07.2009 | | Autor: | abakus |
> Gegeben sind die Werte x1, x2, . . . , xn x [mm]\varepsilon[/mm] R.
> Für welche Werte von x [mm]\varepsilon[/mm] R nimmt die Funktion:
>
> [mm]f(\lambda)=\bruch{1}{n}*\summe_{i=1}^{n}(x_{i}-\lambda)^{2}[/mm]
>
> minimale Werte an? Interpretieren Sie das Ergebnis.
> Moin,
>
> komme leider hier nicht so wirklich voran, obwohl es mir
> zunächst einfach erschien,denn:
>
> Die Summe wird ja minimal, wenn [mm]\lambda[/mm] und jedes [mm]x_{i}[/mm]
> gleich wären, also Null. Aber da hier eine Funktion
> gegeben ist, denk da eher an Ableiten :)
>
> Müsste ich jetzt einfach von : [mm](x_{i}-\lambda)^{2}[/mm] das
> Minimum suchen?
> Das müsste ja dann [mm]\lambda=x_{i}[/mm] , aber iwie sinnlos xD
> LG und Danke
>
> xPae
Hallo,
in der Praxis sind die [mm] x_i [/mm] irgendwelche Messwerte und das [mm] \lambda [/mm] ist eine Zahl, die man sucht, um einen möglichst guten "Mittelwert" für die verschiedenen voneinander abweichenden [mm] x_i [/mm] zu erhalten.
Der gegebenen Term ist die mittlere quadratische Abweichung der Messwerte [mm] x_i [/mm] vom Wert [mm] \lambda.
[/mm]
Diese Abweichung ist tatsächslich am kleinsten, wenn alle Messwerte
1) übereinstimmen
und
2) mit dem Wert [mm] \lambda [/mm] identisch wären.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 Sa 11.07.2009 | | Autor: | xPae |
Moin,
> Hallo,
> in der Praxis sind die [mm]x_i[/mm] irgendwelche Messwerte und das
> [mm]\lambda[/mm] ist eine Zahl, die man sucht, um einen möglichst
> guten "Mittelwert" für die verschiedenen voneinander
> abweichenden [mm]x_i[/mm] zu erhalten.
> Der gegebenen Term ist die mittlere quadratische
> Abweichung der Messwerte [mm]x_i[/mm] vom Wert [mm]\lambda.[/mm]
> Diese Abweichung ist tatsächslich am kleinsten, wenn alle
> Messwerte
> 1) übereinstimmen
> und
> 2) mit dem Wert [mm]\lambda[/mm] identisch wären.
> Gruß Abakus
>
Kann man auch ein [mm] \lambda [/mm] bestimmen, wenn alle Messwerte unterschiedlich sind? Das müsste doch dann einfach der Mittelwert von allen x-Werten sein, oder?
Gru´ß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:23 Sa 11.07.2009 | | Autor: | abakus |
> Moin,
>
> > Hallo,
> > in der Praxis sind die [mm]x_i[/mm] irgendwelche Messwerte und
> das
> > [mm]\lambda[/mm] ist eine Zahl, die man sucht, um einen möglichst
> > guten "Mittelwert" für die verschiedenen voneinander
> > abweichenden [mm]x_i[/mm] zu erhalten.
> > Der gegebenen Term ist die mittlere quadratische
> > Abweichung der Messwerte [mm]x_i[/mm] vom Wert [mm]\lambda.[/mm]
> > Diese Abweichung ist tatsächslich am kleinsten, wenn
> alle
> > Messwerte
> > 1) übereinstimmen
> > und
> > 2) mit dem Wert [mm]\lambda[/mm] identisch wären.
> > Gruß Abakus
> >
>
> Kann man auch ein [mm]\lambda[/mm] bestimmen, wenn alle Messwerte
> unterschiedlich sind? Das müsste doch dann einfach der
> Mittelwert von allen x-Werten sein, oder?
Nicht ganz. Nimm mal die 10 Werte
1,1,1,1,1,1,1,1,1 und 11. Die Summe ist 20, der Mittelwert 2.
Die quadatischen Abweichungen von [mm] \lambda=2 [/mm] sind neunmal [mm] 1^2 [/mm] und einmal [mm] 9^2=81. [/mm] Der Mittelwert dieser quadratischen Abweichungen ist (1+1+1+1+1+1+1+1+1+81):10=9.
Wenn du für [mm] \lambda [/mm] einen geeigneten anderen Wert wählen würdest (teste mal 1,99 und 2,01), kommst du auf eine kleinere mittlere quadratische Abweichung.
Gruß Abakus
>
> Gru´ß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:46 Sa 11.07.2009 | | Autor: | xPae |
Danke für Deine Antwort. Ich bin so auf den Mittelwert gekommen:
[mm] f(\lambda)=\bruch{1}{n}*\summe_{i=1}^{n}(x_{i}-\lambda)^{2} [/mm]
[mm] f(\lambda)=\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}(x_{i})^{2}-2*\lambda*\bruch{1}{n}(\summe_{i=1}^{n}x_{i})+\lamda^{2} [/mm]
[mm] f'(\lambda)=-2*\bruch{1}{n}(\summe_{i=1}^{n}x_{i})+2*\lambda [/mm]
0 setzen -> Minimum
[mm] \lambda=\bruch{1}{n}(\summe_{i=1}^{n}x_{i})=\overline{x}
[/mm]
2te Ableitung ergäbe 2 -> Minimum.
Ist die Rechnung jetzt falsch? Ich komme bei deinem Beispiel mit dem Mittelwert auf ein Wert von 9 , mit 1,9 auf 9,01 und 2,1 auf 9,01.
Liebe Grüße
und nochmal Danke
xPae
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:49 Sa 11.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Herleitung ist richtig, was abakus gesagt hat versteh ich auch nicht.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:59 Sa 11.07.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo
> Deine Herleitung ist richtig, was abakus gesagt hat
> versteh ich auch nicht.
> Gruss leduart
Tut mir leid. Ich habe ein unglückliches "Gegenbeispiel" konstruiert, das leider kein Gegenbeispiel war (und nicht selbst nachgerechnet).
Wenn ich allerdings zwei meiner neun Einsen ändere, und zwar in je eine 0 und eine 2, bleibt der Mittelwert erhalten. Deren quadratische Abweichungen vom Mittelwert 2 (das sind [mm] 1^2 [/mm] + [mm] 1^2) [/mm] werden jedoch zu [mm] 2^2+0^2 [/mm] und ändern sich damit. Der Mittelwert der Daten ist also nicht in jedem Fall das günstigste [mm] \lambda.
[/mm]
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:34 Sa 11.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Rechng zeigt doch, dass [mm] \lambda [/mm] = MW das einzige innere minimum ist. du muesstest also zeigen, dass es am Rande des Def. Gebietes von [mm] \lambda [/mm] ein Randmin. gibt.
Dass es ein min ist, hat nichts mit dem Wert der Quadratsumme im Minimum zu tun .
Gruss leduart
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