Minimumprinz. holomorph Funkt. < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Beweisen Sie das Minimumprinzip: G sei ein Gebiet, [mm] f:G\to\IC [/mm] holomorph und |f| habe in [mm] z_{0}\in [/mm] G ein lokales Minimum. Dann ist [mm] f(z_{0}) [/mm] = 0 oder f ist konstant. Folgern Sie daraus den Fundamentalsatz der Algebra. |
Hallo!
Ich habe gelesen (...), dass man einfach [mm] \bruch{1}{f} [/mm] mit dem Maximumprinzip betrachten soll. Wäre es also so richtig:
Fall 1: [mm] f(z_{0}) [/mm] = 0 klar.
Fall 2: [mm] f(z_{0}) \not= [/mm] 0:
Lokales Minimum von f in [mm] z_{0}\Rightarrow \left|\bruch{1}{f(z_{0})}\right| [/mm] = [mm] \bruch{1}{|f(z_{0})|} [/mm] hat lokales Maximum bei [mm] z_{0}. [/mm] Nach dem Maximumprinzip ist [mm] \bruch{1}{f} [/mm] konstant in G. Damit ist auch f konstant in G.
Ist das so richtig?
Folgerung zum Fundamentalsatz:
f ist Polynom und damit holomorph [mm] \Rightarrow $\lim_{|z|\to\infty}f(z) [/mm] = [mm] \infty$. [/mm] Damit gibt es ein [mm] z_{0}, [/mm] wo f ein Minimum hat. Nach dem Minimumprinzip gilt entweder [mm] f(z_{0}) [/mm] = 0 oder f konstant. Da f konstant ein Widerspruch zu den Voraussetzungen ist, muss [mm] f(z_{0}) [/mm] = 0 gelten, f hat also eine Nullstelle.
Hier habe ich noch eine Frage: Jetzt habe ich doch zunächst nur gezeigt, dass f eine Nullstelle hat. Sagt der Fundamentalsatz nicht aus, dass f = Polynom soviele Nullstellen hat wie der Grad des Polynoms groß ist, wie kann ich (muss ich?) das einbauen?
Danke für Eure Hilfe,
Viele Grüße, Stefan.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:23 Mo 08.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Beweisen Sie das Minimumprinzip: G sei ein Gebiet,
> [mm]f:G\to\IC[/mm] holomorph und |f| habe in [mm]z_{0}\in[/mm] G ein lokales
> Minimum. Dann ist [mm]f(z_{0})[/mm] = 0 oder f ist konstant. Folgern
> Sie daraus den Fundamentalsatz der Algebra.
> Hallo!
>
> Ich habe gelesen (...), dass man einfach [mm]\bruch{1}{f}[/mm] mit
> dem Maximumprinzip betrachten soll. Wäre es also so
> richtig:
>
> Fall 1: [mm]f(z_{0})[/mm] = 0 klar.
> Fall 2: [mm]f(z_{0}) \not=[/mm] 0:
> Lokales Minimum von f in [mm]z_{0}\Rightarrow \left|\bruch{1}{f(z_{0})}\right|[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{|f(z_{0})|}[/mm] hat lokales Maximum bei [mm]z_{0}.[/mm] Nach
> dem Maximumprinzip ist [mm]\bruch{1}{f}[/mm] konstant in G. Damit
> ist auch f konstant in G.
>
> Ist das so richtig?
Ja
> Folgerung zum Fundamentalsatz:
>
> f ist Polynom und damit holomorph [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]\lim_{|z|\to\infty}f(z) = \infty[/mm]. Damit gibt es ein [mm]z_{0},[/mm]
> wo f ein Minimum hat. Nach dem Minimumprinzip gilt entweder
> [mm]f(z_{0})[/mm] = 0 oder f konstant. Da f konstant ein Widerspruch
> zu den Voraussetzungen ist, muss [mm]f(z_{0})[/mm] = 0 gelten, f hat
> also eine Nullstelle.
>
> Hier habe ich noch eine Frage: Jetzt habe ich doch zunächst
> nur gezeigt, dass f eine Nullstelle hat. Sagt der
> Fundamentalsatz nicht aus, dass f = Polynom soviele
> Nullstellen hat wie der Grad des Polynoms groß ist, wie
> kann ich (muss ich?) das einbauen?
Das mußt Du nicht (ohne Gewähr)
FRED
>
> Danke für Eure Hilfe,
> Viele Grüße, Stefan.
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Hallo und vielen Dank für deine Antwort, fred!
War der zweite "Beweis", die Herleitung des Fundamentalsatzes, auch richtig (insbesondere bei der Stelle, wo ich sage, es existiert ein Minimum, bin ich mir unsicher) und formal einigermaßen korrekt?
Viele Grüße, Stefan.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:32 Mo 08.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Ich sehe gerade, dass der Beweis nicht ganz korrekt ist !.
Mach es so: Annahme : f hat keine Nullstelle. Dann ist g: = 1/f eine ganze Funktion mit |g(z)| --> 0 ( z --> [mm] \infty) [/mm] . also hat g ein Maximum ......
Jetzt Du
FRED
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Hallo!
Vielen Dank für die Korrektur!
> Ich sehe gerade, dass der Beweis nicht ganz korrekt ist !.
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> Mach es so: Annahme : f hat keine Nullstelle. Dann ist g: =
> 1/f eine ganze Funktion mit |g(z)| --> 0 ( z --> [mm]\infty)[/mm] .
> also hat g ein Maximum ......
.... in einer Stelle [mm] z_{0}.
[/mm]
Daraus folgt wegen der "Ganzheit" von f und der damit verbundenen Ganzheit von g = 1/f, dass g konstant in einer Umgebung von [mm] z_{0} [/mm] und damit f konstant in einer Umgebung von [mm] z_{0}, [/mm] was ein Widerspruch zur Voraussetzung wäre, weil Polynome nicht konstant sind?
Wieso darf man eigentlich sagen, dass [mm] g(z)\to [/mm] 0 geht, d.h. dass Polynome stets gegen unendlich gehen? Ist das einfach so?
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Aber sollte ich den Satz nicht aus dem Minimumprinzip folgern? Oder meinste du es so, dass ich dann wieder darauf umschwenke zu sagen dass f als 1/g ein Minimum hat?
Viele Grüße und danke für Eure Hilfe, Stefan.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:37 Mo 08.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
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> Vielen Dank für die Korrektur!
>
> > Ich sehe gerade, dass der Beweis nicht ganz korrekt ist !.
> >
> > Mach es so: Annahme : f hat keine Nullstelle. Dann ist g: =
> > 1/f eine ganze Funktion mit |g(z)| --> 0 ( z --> [mm]\infty)[/mm] .
> > also hat g ein Maximum ......
>
> .... in einer Stelle [mm]z_{0}.[/mm]
> Daraus folgt wegen der "Ganzheit" von f und der damit
> verbundenen Ganzheit von g = 1/f, dass g konstant in einer
> Umgebung von [mm]z_{0}[/mm] und damit f konstant in einer Umgebung
> von [mm]z_{0},[/mm] was ein Widerspruch zur Voraussetzung wäre, weil
> Polynome nicht konstant sind?
> Wieso darf man eigentlich sagen, dass [mm]g(z)\to[/mm] 0 geht, d.h.
> dass Polynome stets gegen unendlich gehen? Ist das einfach
> so?
Ist $f(z) = [mm] a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+ ...+a_0$ [/mm] so ist für z [mm] \not= [/mm] 0:
$f(z) = [mm] z^n(a_n+...+\bruch{a_0}{z^n})$
[/mm]
D.h: f(z) [mm] \to \infty [/mm] für z [mm] \to \infty
[/mm]
FRED
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> ---
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> Aber sollte ich den Satz nicht aus dem Minimumprinzip
> folgern? Oder meinste du es so, dass ich dann wieder darauf
> umschwenke zu sagen dass f als 1/g ein Minimum hat?
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> Viele Grüße und danke für Eure Hilfe, Stefan.
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