Minkowskische Ungleichung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:04 Mi 20.09.2006 | | Autor: | Barncle |
Hallo zusammen!
Ich bereite mich grad auf eine Prüfun vor, und bin dabei auf zwei Ungleichungen gestßen. Und zwar die Höldersche und die Minkowskische Ungleichung.
Ich weiß zwar, dass sie irgendwas mit Normierten Räumen zu tun haben, aber ihr Sinn ist mir bis jetzt einfach verborgen geblieben. Vielleicht kann mir ja einer von euch sagen, was genau damit gezeigt wird....
Ich geb se auch nochmal an!
Seien [mm] x_i, y_i \in \IC [/mm] für i = 1,...,n; [mm] 1
Dann gelten die Höldersche UNgleichung:
[mm] \summe_{i=1}^{n}|x_iy_i| \le (\summe_{i=1}^{n}|x_i|^p)^{\bruch{1}{p}} [/mm] (
[mm] \summe_{i=1}^{n}|y_i|^p)^{\bruch{1}{p}}
[/mm]
und die Minkowkische Ungleichung:
[mm] (\summe_{i=1}^{n}|x_i+y_i|^p)^{\bruch{1}{p}} \le (\summe_{i=1}^{n}|x_i|^p)^{\bruch{1}{p}} [/mm] + (
[mm] \summe_{i=1}^{n}|y_i|^q)^{\bruch{1}{q}}
[/mm]
Danke schonmal! :)
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Hiho,
also zumindest ein Anwendungsgebiet kann ich dir dafür nennen:
Die Minkowski-Ungleichung benötigst du, um zu zeigen, daß die p-Norm wirklich eine Norm ist (http://de.wikipedia.org/wiki/Normierter_Raum) und die Hölder-Ungleichung brauchst du, um die Minkowski-Ungleichung zu beweisen.
Vielleicht ist das ja ein Anfang für dich. Da ich nicht weiss, obs dir reicht, setz ichs erstmal auf "teilweise beantwortet".
Gruß,
Gono.
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Hallo Barncle,
ich denke, die groesste bedeutung haben beide ungleichungen, wenn man sie auf die lebesgue-raeume [mm] $L^p$ [/mm] uebertraegt. Mit der der M-Ungl. zeigt man, dass die p-Norm ueberhaupt eine ist.
Die H-Ungl. ist fundamental fuer jegliche analysis mit den [mm] $L^p$-raeumen. [/mm] beispielsweise braucht man sie, um die wohldefiniertheit des skalarproduktes auf [mm] $L^2$ [/mm] zu zeigen. Weiter kann man mit ihr zeigen, dass auf beschraenkten integrationsgebieten funktionen aus [mm] $L^p,p>1$ [/mm] automatisch in [mm] $L^1$ [/mm] sind (Einbettungseigenschaft). und und und....
Viele Gruesse
Matthias
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