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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:59 Sa 16.12.2006 | | Autor: | Moe007 |
| Aufgabe | Geg sei ein Stapel von N [mm] \ge [/mm] 3 Spielkarten, die wir uns durchnummeriert denken. Die Reihenfolge ist dann beschrieben durch eine Permutation [mm] \pi [/mm] in der Permutationsgruppe E := [mm] S_{N} [/mm] von {1,...N}. Der Kartenstapel werde mehrmals gemischt. Dabei kann der Mischzustand [mm] X_{n} [/mm] des Kartenstapels nach dem n-ten Mischen als E-wertige Zufallssvariable beschrieben werden. Die Anfangsreihenfolge sei geg. durch [mm] X_{0} [/mm] := [mm] \pi_{0} \in [/mm] E, und für n [mm] \le [/mm] 1 sei [mm] X_{n} [/mm] := [mm] \alpha_{n} \circ X_{n-1}. [/mm] Hierbei seien [mm] (\alpha_{i})_{i \ge 1} [/mm] unabhängige, identisch verteilte zufällige Permutationen (d.h. E-wertige Zufallsvariablen), deren Verteilung durch eine Verteilungsdichte [mm] \rho [/mm] geg. wird.
a) Zeige, dass die Mischzustände [mm] X_{n} [/mm] eine Markov-Kette bilden, und bestimme die zugehörige Übergangsmatrix.
b) Zeige, dass [mm] \produkt [/mm] doppeltstochastisch ist, d.h. [mm] \pi \in [/mm] E: [mm] \summe_{\pi' \in E} \produkt(\pi, \pi') [/mm] = 1 und [mm] \pi' \in [/mm] E: [mm] \summe_{\pi' \in E} \produkt(\pi, \pi') [/mm] = 1
c) Zeige, dass unter der Annahme [mm] \rho(\pi) [/mm] > 0 für alle [mm] \pi \in [/mm] E die Mischzustände [mm] X_{n} [/mm] im Limes n [mm] \to \infty [/mm] gleichverteilt ist. |
Hallo,
ich hoff, es kann mir jemand bei der Aufgabe weiterhelfen. Ich weiß leider nicht genau, wie ich das alle zeigen soll.
a) Die [mm] X_{n} [/mm] nehmen Werte in E an. Damit [mm] X_{n} [/mm] eine Markovkette bildet, muss ich doch noch zeigen, dass [mm] P(X_{n+1} [/mm] = [mm] x_{n+1} [/mm] | [mm] X_{0} [/mm] = [mm] x_{0},..., X_{n} [/mm] = [mm] x_{n}) [/mm] = [mm] \produkt(x_{n}, x_{n+1}) \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] 0, [mm] x_{i} \in [/mm] E, falls [mm] P(X_{0} [/mm] = [mm] x_{0},..., X_{n} [/mm] = [mm] x_{n}) [/mm] > 0.
Aber wie kann ich das denn zeigen? Ich weiß ja nicht, wie groß die einzelnen Überganswahrscheinlichkeiten.
Ich würd mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte.
Viele Grüße,
Moe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Mi 20.12.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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