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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:26 Mi 11.05.2011 | | Autor: | frank85 |
| Aufgabe 1 | i)
Bestimme die Parameterdarstellung der Mittelsenkrechten auf der Strecke mit den Endpunkten A=(2,1), B=(-2,3) |
| Aufgabe 2 | ii)
Welchen Abstand hat der Punkt C=(1,2) von der Mittelsenkrechten aus i) |
zu i)
Zuerst habe ich die Strecke [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] ausgerechnet mit [mm] \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}=\pmat{-2\\3}-\pmat{2\\1}=\pmat{-4\\2}
[/mm]
davon dann die hälfte sollte mir ja den Richtungsvektor liefern: [mm] \bruch{\pmat{-4\\2}} {2}=\pmat{-2\\1}
[/mm]
Jetzt den Ortsvektor bestimmen mit: [mm] \bruch{\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}}{2}=\pmat{0\\2}
[/mm]
Also ist die Parameterdarstellung der Mittelsenkrechten:
[mm] \pmat{-2\\1}\lambda\ [/mm] + [mm] \pmat{-2\\1}
[/mm]
Stimmt das so? Und geht das auch iwi einfacher oder schneller?
ii)
Abstand zweier Punkte ist ja Betrag des Vektors. Dieser Vektor startet am Punkt C, hat also Ortsvektor [mm] \pmat{1\\2}. [/mm] Der Richtungsvektor sollte doch der gleiche sein wie bei der Geraden [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] da diese ja Senkrecht zur Mittelsenkrechten steht. Also ist der gesuchte Vektor: [mm] \pmat{-4\\2} [/mm] (also [mm] {-2\\1} \lambda [/mm] + [mm] \pmat{1\\2}
[/mm]
Abstand ist dann [mm] |\pmat{-2\\1}| [/mm] = [mm] \wurzel{-2^2+1^2}=\wurzel{5}
[/mm]
Wieder die Frage ob das so richtig ist, oder schneller zu lösen geht?
Vielen Dank :)
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Moin,
> i)
> Bestimme die Parameterdarstellung der Mittelsenkrechten
> auf der Strecke mit den Endpunkten A=(2,1), B=(-2,3)
> ii)
> Welchen Abstand hat der Punkt C=(1,2) von der
> Mittelsenkrechten aus i)
> zu i)
> Zuerst habe ich die Strecke [mm]\overrightarrow{AB}[/mm]
> ausgerechnet mit
> [mm]\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}=\pmat{-2\\3}-\pmat{2\\1}=\pmat{-4\\2}[/mm]
> davon dann die hälfte sollte mir ja den Richtungsvektor
> liefern: [mm]\bruch{\pmat{-4\\2}} {2}=\pmat{-2\\1}[/mm]
Nein, für die Mittelsenkrechte brauchst du einen Vektor, der senkrecht zum Vektor [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] steht. Allgemein gilt (Skalarprodukt ist Null):
[mm] \pmat{a\\b}\perp\pmat{-b\\a}
[/mm]
Also kannst du z.B. [mm] \pmat{1\\2} [/mm] als Richtungsvektor der Mittelsenkrechten wählen.
> Jetzt den Ortsvektor bestimmen mit:
> [mm]\bruch{\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}}{2}=\pmat{0\\2}[/mm]![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Also ist die Parameterdarstellung der Mittelsenkrechten:
> [mm]\pmat{\red{1}\\\red{2}}\lambda\[/mm] + [mm]\pmat{\red{0}\\\red{2}}[/mm]
> Stimmt das so? Und geht das auch iwi einfacher oder schneller?
Das ist doch schon ziemlich einfach.
>
> ii)
Aufgabe ii) solltest du dir nochmal anschauen. Der Abstand von C zur Mittelsenkrechte ist der kürzeste Abstand von C zu einem Punkt auf der Mittelsenkrechte.
Eine Möglichkeit ist daher, den Abstand (=Betrag der Differenz zweier Punkte) von C zu einem beliebigen Punkt der Mittelsenkrechte hinzuschreiben und zu untersuchen, wo dieser am geringsten ist.
> Abstand zweier Punkte ist ja Betrag des Vektors. Dieser
> Vektor startet am Punkt C, hat also Ortsvektor [mm]\pmat{1\\2}.[/mm]
> Der Richtungsvektor sollte doch der gleiche sein wie bei
> der Geraden [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] da diese ja Senkrecht zur
> Mittelsenkrechten steht. Also ist der gesuchte Vektor:
> [mm]\pmat{-4\\2}[/mm] (also [mm]{-2\\1} \lambda[/mm] + [mm]\pmat{1\\2}[/mm]
> Abstand ist dann [mm]|\pmat{-2\\1}|[/mm] =
> [mm]\wurzel{-2^2+1^2}=\wurzel{5}[/mm]
> Wieder die Frage ob das so richtig ist, oder schneller zu
> lösen geht?
> Vielen Dank :)
LG
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