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Guten abend zusammen. Ich habe ein kleines Problem mit dem mittlwertsatz. Und zwar lautet die Fkt.:
ln(x+1) [mm] \le [/mm] x
Voraussetzungen für den mittelwertsatz ist ja, dass sie diff'bar und stetig ist.
Mein Beweis:
ln(x+1) [mm] \le [/mm] x, für alle x [mm] \ge [/mm] 0
x=0 [mm] \Rightarrow [/mm] ln(0+1) [mm] \le [/mm] 0. Da gilt ln(1)=0 folgt daraus 0 [mm] \le [/mm] 0
Da die Fkt diff'bar ist, ist diese auch stetig.
Somit sind die Voraussetzungen für den Mittelwertsatz erfüllt. Die Fkt. ist imm Intervall ]0,x[ diff'bar und stetig...
Wie kann ich jetzt weitermachen? Ich würde weitermachen mit:,, Somit gibt es in ]0,x[ mindestens ein x, für das gilt: [mm] \bruch{f(b)-f(a)}{x-a}=f'(x). [/mm] Aber wie stell ich das jetzt genau an?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:57 Mi 12.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Du hast dein Problem recht unklar formuliert, aber ich glaube ich versteh's.
> Guten abend zusammen. Ich habe ein kleines Problem mit dem
> mittlwertsatz. Und zwar lautet die Fkt.:
> ln(x+1) [mm]\le[/mm] x
> Voraussetzungen für den mittelwertsatz ist ja, dass sie
> diff'bar und stetig ist.
> Mein Beweis:
> ln(x+1) [mm]\le[/mm] x, für alle x [mm]\ge[/mm] 0
Das willst du mit Hilfe des Mittelwertsatzes zeigen, ja?
Ich würde dazu die Funktion [mm]f(x) = x- \ln(x+1)[/mm] betrachten und zeigen, dass sie überall [mm]\ge 0[/mm] ist.
> x=0 [mm]\Rightarrow[/mm] ln(0+1) [mm]\le[/mm] 0. Da gilt ln(1)=0 folgt daraus 0 [mm]\le[/mm] 0
>
> Da die Fkt diff'bar ist, ist diese auch stetig.
>
> Somit sind die Voraussetzungen für den Mittelwertsatz
> erfüllt. Die Fkt. ist imm Intervall ]0,x[ diff'bar und
> stetig...
>
> Wie kann ich jetzt weitermachen? Ich würde weitermachen
> mit:,, Somit gibt es in ]0,x[ mindestens ein x, für das
> gilt: [mm]\bruch{f(b)-f(a)}{x-a}=f'(x).[/mm] Aber wie stell ich das
> jetzt genau an?
Das ist nicht ganz richtig formuliert: wenn du f(b)-f(a) schreibst, dann handelt es sich um das Intervall ]a,b[. In deinem Fall nimmst du a=0.
Der Mittelwertsatz sagt: es gibt im Intervall ]0,b[ mindestens ein x mit
[mm] f'(x) = \bruch{f(b)-f(0)}{b-0} [/mm].
Jetzt setze ein, was du schon hast!
Viele Grüße
Rainer
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Achso. Okay das müsste ja dann eingesetzt eigentlich [mm] \bruch{x-ln(x+1)-0}{x-0} [/mm] ergeben. Hier kann ich x kürzen und erhalte eigentlich -ln(x+1).
:-(.
Das kann doch auch nicht richtig sein. Wie kann ich das denn von Anang an besser machen? Also sie muss ja diff'bar und stetig sein um den mittelwertsatz anzuwenden. Aber wie prüfe ich denn deiner Meinung nach auf diff'barkeit? Stetigkeit brauche ich ja nicht, da wenn diff'bar auch stetig!!!
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Achso ich habe nur mal eine kurze Frage zum Anfang der Rechnung als ich versuchte dir diff'barkeit zu prüfen. Sobald ich bewiesen habe, dass ln(x+1) [mm] \le [/mm] x, für alle x [mm] \ge [/mm] 0 z.B. für x=0 zutrifft, kann ich die Ungleichung zu x-ln(x+1) umstellen richtig?
Ich hänge immernoch oben jetzt fest. Der rest ist mir jetzt dank deiner Hilfe klar. Nur weiß ich nicht wirklich, was ich jetzt mit diesem Bruch [mm] (\bruch{x-ln(x+1)-0}{x-0} [/mm] beweisen kann. Was muss sich für einen Punkt y genau ergeben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:43 Mi 12.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Ich glaube, du bist auf der falschen Spur.
Über das y kannst du zunächst mal gar nichts aussagen, außer dass es zwischen 0 und x liegt. Hast du die Ableitung ausgerechnet? Was kannst du über die Vorzeichen der Größen im Mittelwertsatz aussagen?
Viele Grüße
Rainer
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Nein das sollte ja keine Antwort auf die Frage sein. Ich wollte eigentlich, weil du gesagt hast, dass du meinem weg nicht so ganz folgen konntest. Also wie ich die diiff'barkeit der Fkt. in meinem ersten Thread bewiesen hatte. Welcher Weg wäre denn nachvollziehbarer für den Beweis der diff'barkeit dieser Fkt.?
Jetzt zu deiner Frage: Ich würde nun mit der Quotientenregel ableiten. Ist das richtig? Also so würde ich das dann machen. Allerdings würde ich zunächst gerne wissen, wie ich das mit der diff'barkeit besser ausschreiben kann, da es ja nicht ganz richtig war.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:25 Mi 12.12.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
da x und ln(1+x) differenzierbare fkt.im betrachteten Intervall sind, musst du die
Differenzierbarkeit icht beweisen.
Du sollst nur den Mittelwertsatz anwenden lernen!
Gruss leduart
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Ja ich hatte das soweit auchb alles verstanden. allerdings habe ich jetzt irgendwie total den Überblick verloren. Wie wende ich den denn jetzt am besten an?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:37 Mi 12.12.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Schreib dir den MWS nochmal auf. Mach dir klar, was er anschaulich bedeutet. Bei x=0 ist die fkt 0. du willst beweisen, dass sie immer größer gleich 0 ist. und das über dem MWS!
also erst mal die Steigung berechnen! und ihr Vorzeichen!
Wenn du nicht selbst überlegst, lernst dus nicht!
Gruss leduart
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Ach ja genau also die Fkt. ist diff'bar und stetig auf dem Intervall ]0,x[. Demnach gibt es einen Punkt, sodass gilt:
[mm] f'(x)=\bruch{f(x)-0}{x-0}. [/mm] Soweit waren wir und jetzt kann ich den Mittelwert inwiefern anwenden? Sekante muss ja dann parallel zur Sekante sein oder also durch die gegebenen Punkte?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:33 Do 13.12.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
lies dir bitte deinen Text mal durch! der macht nicht viel Sinn. und wie du dem MWS aufgeschrieben hast auch nicht.
Was ist denn f' ? was bedeutet das Vorzeichen von f' und f(0)=0
was wäre wenn f(x) irgendwo <0?
Gruss leduart
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Kürzen geht hier nicht.
