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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:41 Mi 11.06.2008 | | Autor: | mempys |
Hallo!
habe ein Problem mit einer Aufgabe.Ich soll mit Hilfe des Mittelwertsatzes zeigen das:
[mm] exp(x)\ge [/mm] 1+x [mm] x\in\IR [/mm] gilt.
Den Mittelwertsatz an sich hab ich zwar verstanden [mm] \bruch{f(b)-f(a)}{b-a} [/mm] aber anwenden auf diese Aufgabe kann ich ihn leider nicht...hoffe ihr könnt mir helfen..
MFG Mempys
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> Hallo!
> habe ein Problem mit einer Aufgabe.Ich soll mit Hilfe des
> Mittelwertsatzes zeigen das:
> [mm]exp(x)\ge[/mm] 1+x [mm]x\in\IR[/mm] gilt.
> Den Mittelwertsatz an sich hab ich zwar verstanden
> [mm]\bruch{f(b)-f(a)}{b-a}[/mm] aber anwenden auf diese Aufgabe kann
> ich ihn leider nicht...hoffe ihr könnt mir helfen..
Du könntest hier $b=x$ und $a=0$ setzen. Dann liefert Dir der Mittelwertsatz die Existenz eines [mm] $\xi$ [/mm] zwischen $0$ und $x$, so dass gilt [mm] $\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^0=\mathrm{e}^\xi\cdot [/mm] (x-0)$. Also, nach [mm] $\mathrm{e}^x$ [/mm] aufgelöst: [mm] $\mathrm{e}^x=1+\mathrm{e}^\xi\cdot [/mm] x$. Nun musst Du wohl die Fälle [mm] $x\geq [/mm] 0$ und $x<0$ unterscheiden, um auf die zu beweisende Ungleichung zu kommen.
P.S: Zur intuitiven Klärung: $y=1+x$ ist gerade die Tangente an [mm] $y=\mathrm{e}^x$ [/mm] im Punkt [mm] $(0|\mathrm{e}^0)$. [/mm] Zudem ist [mm] $y=\mathrm{e}^x$ [/mm] konvex: daher gilt diese Ungleichung.
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