Mittelwertsatz < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo!
Hab eine Aufgabe,die ich lösen muss, hab aber keine ahnung wie?
Es sei f : [0,1] [mm] \to [/mm] [0,1] stetig. Zeigen Sie, dass f stets einen Fixpunkt [mm] x_{0} \in [/mm] [0,1] besitzt, d.h. es ein [mm] x_{0} \in [/mm] [0,1] gibt mit [mm] {f(x)}=x_{0}.
[/mm]
Sage jetzt schon danke!!!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:37 Sa 16.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo,
nutze einfach den Zwischenwertsatz für stetige Funktionen auf die Funktion $g(x):=f(x)-x$.
Gruß Max
|
|
|
| |
|
Hallo, das ist ja das problem, dass ich den Satz nicht anwenden kann?
Hab nicht mal die geringste Ahnung!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:24 So 17.04.2005 | | Autor: | Max |
Naja, der Zwischenwertsatz besagt doch, dass es für jede stetige Funktion [mm] $g:[a;b]\to \IR$ [/mm] mit $g(a)<0$ und $g(b)>0$ ein [mm] $\zeta \in[a;b]$ [/mm] mit [mm] $g(\zeta)=0$.
[/mm]
Wenn du mal überlegst, was mit Sicherheit für $g(0)$ und $g(1)$ gilt, da $f: [0;1] [mm] \to [/mm] [0;1]$ geht. Dann kannst du den Zwischenwertsatz anwenden, und wenn [mm] $g(\zeta)=0$ [/mm] ist, gilt ja wohl [mm] $f(\zeta)=\zeta$, [/mm] also ist [mm] $\zeta$ [/mm] der Fixpunkt von $f$.
Gruß Max
|
|
|
| |
|
naja g(0)=f(0)-0 also g(0)=f(0) und g(1)=f(1)-1, wie kann ich das vergleichen wenn ich nicht genau weiß was f(x) ist.
Außerdem um Mittelwertsatz anzuwenden muss ich doch zeigen dass f in (a,b) differnzierbar ist, nur dann kann ich [mm] \bruch{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{'}(\zeta) [/mm] anwenden.
???
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:40 So 17.04.2005 | | Autor: | Max |
> naja g(0)=f(0)-0 also g(0)=f(0) und g(1)=f(1)-1, wie kann
> ich das vergleichen wenn ich nicht genau weiß was f(x)
> ist.
Naja, da ja $f: [0;1 [mm] ]\to [/mm] [0;1]$ muss [mm] $g(0)=f(0)-0\ge [/mm] 0$ gelten. Entsprechend gilt auch, dass [mm] $g(1)=f(1)-1\le [/mm] 0$ sein muss. Damit sind entweder $1$ und $0$ bereits Fixpunkte, oder es gelten die Vorasusetzungen für den Zwischenwertsatz von stetigen Funktionen.
> Außerdem um Mittelwertsatz anzuwenden muss ich doch zeigen
> dass f in (a,b) differnzierbar ist, nur dann kann ich
> [mm]\bruch{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{'}(\zeta)[/mm] anwenden.
> ???
Ich rede vom Zwischenwertsatz und nicht vom Mittelwertsatz 
Gruß Max
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:59 So 17.04.2005 | | Autor: | johann1850 |
sorry jetzt weiß ich wieso ich mit der aufgabe überhaupt nichts anfangen konnte.
ZWISCHENWERTSATZ!!!
DANKE
|
|
|
|
