Mittelwertsatz < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Hier geht es um den Mittelwertsatz.
Beweisen Sie die Ungleichung [mm] n*(b-a)*a^{n-1} |
mit der aufgabe bin ich überfodert... habe überhaupt keine ahnung, was ich machen soll. könnte mir jemand einen tipp geben?
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Hiho,
bist du sicher, dass du die Aufgabe mit Mittelwertsatz lösen sollst?
Ohne geht das nämlich auch (und m.E. nach) viel schöner...... ansonsten als Tip: Dividiere mal durch (b-a) und schau dir die Ungleichungen dann mal an.
Die Mitte sieht ja dann schon ganz gut aus, oder nicht? 
MFG,
Gono.
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ok vielen dank schonmal. sieht wirklcih viel hübscher aus.
habe jetzt:
[mm] n*a^{n-1}<\bruch{b^n-a^n}{b-a}
aus dem mittelwertsatz folgt ja nun, dass [mm] f'(\mu)=\bruch{b^n-a^n}{b-a} [/mm] ist, wobei [mm] a<\mu [/mm] <b ist. und man kann sagen, dass [mm] b^n=f(b) [/mm] und [mm] a^n=f(a) [/mm] ist. darf ich dann einfach sagen, dass
[mm] n*a^{n-1}<\bruch{b^n-a^n}{b-a}
[mm] f'(a)
nun würde das ja eigentlich meiner meinung nach klar sein, da [mm] n\not= [/mm] 1 ist. die funktion [mm] f(x)=x^n [/mm] ist ja steng monoton wachsend und somit steigt auch der anstieg bei größer werdenen x-werten an. muss ich noch zeigen dass es streng monoton wachsend ist? und wäre es durch diese erklärung wirklich gezeigt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:13 Mo 28.12.2009 | | Autor: | abakus |
> ok vielen dank schonmal. sieht wirklcih viel hübscher aus.
>
> habe jetzt:
>
> [mm]n*a^{n-1}<\bruch{b^n-a^n}{b-a}
>
> aus dem mittelwertsatz folgt ja nun, dass
> [mm]f'(\mu)=\bruch{b^n-a^n}{b-a}[/mm] ist, wobei [mm]a<\mu[/mm] <b ist. und
> man kann sagen, dass [mm]b^n=f(b)[/mm] und [mm]a^n=f(a)[/mm] ist. darf ich
> dann einfach sagen, dass
>
> [mm]n*a^{n-1}<\bruch{b^n-a^n}{b-a}
>
> [mm]f'(a)
Hallo,
ich vermute, mein Vorredner spielte eher darauf an, dass mit [mm] \bruch{b^n-a^n}{b-a} =b^{n-1}+b^{n-2}a+b^{n-3}a^2+...+ba^{n-2}+a^{n-1} [/mm] eine Abschätzung nach oben und unten möglich ist.
Gruß Abakus
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> nun würde das ja eigentlich meiner meinung nach klar sein,
> da [mm]n\not=[/mm] 1 ist. die funktion [mm]f(x)=x^n[/mm] ist ja steng monoton
> wachsend und somit steigt auch der anstieg bei größer
> werdenen x-werten an. muss ich noch zeigen dass es streng
> monoton wachsend ist? und wäre es durch diese erklärung
> wirklich gezeigt?
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Hiho,
> aus dem mittelwertsatz folgt ja nun, dass
> [mm]f'(\mu)=\bruch{b^n-a^n}{b-a}[/mm] ist, wobei [mm]a<\mu[/mm] > <b ist.
Naja, es folgt erstmal die Existenz eines solchen [mm] \mu, [/mm] so dass das gilt
> man kann sagen, dass [mm]b^n=f(b)[/mm] und [mm]a^n=f(a)[/mm] ist. > darf ich
> dann einfach sagen, dass
>
> [mm]n*a^{n-1}<\bruch{b^n-a^n}{b-a}
>
> [mm]f'(a)
Letztlich kannst du das einfach "sagen", aber warum?
Na weil du einfach nur $f(x) = [mm] x^n$ [/mm] einsetzt.
> nun würde das ja eigentlich meiner meinung nach klar sein,
> da [mm]n\not=[/mm] 1 ist. die funktion [mm]f(x)=x^n[/mm] ist ja steng monoton
> wachsend und somit steigt auch der anstieg bei größer
> werdenen x-werten an.
korrekt.
> muss ich noch zeigen dass es streng
> monoton wachsend ist? und wäre es durch diese erklärung
> wirklich gezeigt?
Ob du das noch zeigen musst => musst du wissen.
Aber $f(x) = [mm] x^n$ [/mm] ist generell gar nicht streng monoton wachsend, sondern teilweise halt auch monoton fallend für gerade n.... und nu?
Stört uns das?
Und ja, damit wäre es dann gezeigt.
Soweit zum Vorgehen mit MWS..... ohne geht es weiter, wie abakus beschrieben hat, denn: Wozu MWS benutzen und mehr Voraussetzungen nutzen als notwendig, ausser ihr sollt das.
MFG,
Gono.
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hmm... also iwie hat mich das jetzt ein wenig verwirrt. also ich kann das so schreiben mit [mm] f'(a)
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Weil das für f doch eben gilt (Begründung aufgrund der Monotonie).
MFG,
Gono.
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Aus der Tatsache, dass [mm] f(x)=x^n [/mm] monoton steigt, folgt noch nicht, dass für [mm] a<\mu
Betrachte z.B. die monoton steigende Funktion [mm] f(x)=\wurzel{x}.
[/mm]
Da ist f'(1)=1/2, f'(4)=1/4 und f'(9)=1/6, die Steigungen werden also immer kleiner.
Deshalb solltest du zusätzlich so argumentieren:
Für [mm] f(x)=x^n [/mm] mit x>0 und [mm] n\ge [/mm] 2 ist [mm] f''(x)=n*(n-1)*x^{n-2}>0 [/mm] und damit f'(x) monoton steigend, so dass für [mm] a<\mu
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:58 Mo 28.12.2009 | | Autor: | Sax |
Hi,
betrachte mal die Funktion f mit f(x) = [mm] x^{n}. [/mm] Ihre Ableitung ist wegen n>1 für x>0 monoton wachsend, also f'(a)<f'(z)<f'(b) mit a<z<b. Benutze dann für f'(z) den MWS.
Gruß Sax.
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